(2008/2009)^2009＜(2009/2010)^2010

解説

関数化して一般化して考える

f(x)=((x-1)/x)^x=(1-1/x)^xのx=2009の時とx=2010の時の大小を比較する。

以下x＞1について考える。

f'(x)=(e^xlog(1-1/x))'=e^xlog(1-1/x)*(xlog(1-1/x))'

=e^xlog(1-1/x)*(log(x-1)+x/(x-1)-1-logx)

=e^xlog(1-1/x)*(log(1-1/x)+1/(x-1))…★

g(x)=log(1-1/x)+1/(x-1)=log(x-1)-logx+1/(x-1)

g'(x)=1/(x-1)-1/x-1/(x-1)^2=(x(x-1)-(x-1)^2-x)/x(x-1)^2=-1/x(x-1)^2＜0…①

lim(x→+∞)g(x)=0…②

①,②よりg(x)＞0

これとe^xlog(1-1/x)＞0より

★式についてf'(x)＞0が示される

これよりf(x)はx＞1で増加関数より

f(2009)＜f(2010)

∴(2008/2009)^2009＜(2009/2010)^2010