12111007

NO.17-1　因数分解 ～難易度☆☆☆☆★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 22:16:11.68 ID:KDIwLlOM0
   a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)
   を因数分解せよ 

解答

...

=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

解説

常識的に考えて降冪の順に並び替え。

因数分解の方法は次数の最も低いものを基準にして降冪の順に並べるのが基本。

a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+bc(b^2-c^2)

=a^3(b-c)-a(b-c)(b^2+bc+c^2)+bc(b-c)(b+c)

=(b-c)(a^3-a(b^2+bc+c^2)+bc(b+c))

=(b-c)((c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2)

=(b-c)(c-a)(b^2+cb-a(a+c))

=(b-c)(c-a)(b-a)(b+(c+a))

=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

NO.17-2　因数分解と解と係数の関係 ～難易度☆☆☆★★

問題

　x^2-8x+14の2つの解をα、βとする。
  　(1)α^2＋β^2、α^3＋β^3の値をそれぞれ求めよ。
  　(2)(1)の結果を利用して方程式x^3-42x+176＝0を解け。 
                                     　(類題：お茶の水女子大)

解答

...

(1)36，176 (2)-8，-4±√6i

解説

(1)解と係数の関係より

α＋β＝8，αβ＝14

∴α^2＋β^2＝(α＋β)^2－2αβ＝36

∴α^3＋β^3＝(α＋β)^3－3αβ(α＋β)＝176

(2)x^3-42x+176＝x^3+176-42x

＝x^3＋α^3＋β^3－3αβx

＝(x＋α＋β)(x^2＋α^2＋β^2－αx－βx－αβ)

＝(x＋α＋β){x^2－(α＋β)x＋α^2＋β^2－αβ}

＝(x＋8)(x^2－8x＋22)＝0

これを解いて、x＝-8，-4±√6i

補足

x^2－(α＋β)x＋α^2＋β^2－αβの判別式をDとすると

D＝－3α^＋6αβ－3β^2＝－3(α－β)^2≦0

元の二次方程式が重解を持たないときは虚数解を持つことが分かります。

NO.17-3　因数分解 ～難易度☆☆☆☆★

問題

18 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/05(日) 20:58:16.27 ID:ZIW+OqgB0
   因数分解はパズル的で楽しい
   x^3-3x^2-4x+12 

解答

...

(x-3)(x+2)(x-2)

解説

この手の問題は整数や簡単な分数(1/2)をxに代入して0になる時を探します。

x=3の時0になるからx-3を因数に持つ。

よって、x^3-3x^2-4x+12=(x-3)(x^2-4)=(x-3)(x+2)(x-2)