12120005

NO.2-1 変数を減らす~難易度☆☆★★★

問題

327 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/20(金) 00:17:57.94 ID:mIHxuGVJ0
   曲線x^2+y^4=2の上を動く点から,点(0,1)までの距離の最大値および最小値と,それらを与える点の座標を求めよ. 

解答

+ ...

最大値 √5 (x,y)=(+-1,-1)

最小値 √(1+√2-2^(1/4)) (x,y)=(0,2^(1/4))

解説

A(0,1),P(x,y)としてAP=dとする。(Pはx^2+y^4=2上の点)

d^2=x^2+(y-1)^2

これにx^2=-y^4+2を代入。(ここで、x^2≧0より-y^4+2≧0から2^(1/4)≧y≧-2^(1/4))

d^2=-y^4+y^2-2y+3

f(y)=-y^4+y^2-2y+3として

f'(y)=-4y^3+2y-2でy=-1はこれを満たすから

f'(y)=(y+1)(-4y^2+4y-2)=-2(y+1)(2y^2-2y+1)=0

2y^2-2y+1はD=1-2<0より≠0

これよりf(y)のグラフはf(-1)=5で最大。y=-1は 2^(1/4)≧1より満たす。①

次に最小値を求める。

y=-2^(1/4)の時

f(-2^(1/4))=-2+√2+2^(1/4)+3

y=2^(1/4)の時

f(2^(1/4))=-2+√2-2^(1/4)+3

∴f(2^(1/4))<f(-2^(1/4))②

①②より

最大値 d=√5 (x,y)=(+-1,-1)

最小値 d=√(1+√2-2^(1/4)) (x,y)=(0,2^(1/4))

タグ:

+ タグ編集
  • タグ:

このサイトはreCAPTCHAによって保護されており、Googleの プライバシーポリシー利用規約 が適用されます。

最終更新:2009年07月22日 01:04
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。