NO.2-1 変数を減らす~難易度☆☆★★★
問題
327 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/20(金) 00:17:57.94 ID:mIHxuGVJ0
曲線x^2+y^4=2の上を動く点から,点(0,1)までの距離の最大値および最小値と,それらを与える点の座標を求めよ.
解答
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... |
最大値 √5 (x,y)=(+-1,-1)
最小値 √(1+√2-2^(1/4)) (x,y)=(0,2^(1/4))
解説
A(0,1),P(x,y)としてAP=dとする。(Pはx^2+y^4=2上の点)
d^2=x^2+(y-1)^2
これにx^2=-y^4+2を代入。(ここで、x^2≧0より-y^4+2≧0から2^(1/4)≧y≧-2^(1/4))
d^2=-y^4+y^2-2y+3
f(y)=-y^4+y^2-2y+3として
f'(y)=-4y^3+2y-2でy=-1はこれを満たすから
f'(y)=(y+1)(-4y^2+4y-2)=-2(y+1)(2y^2-2y+1)=0
2y^2-2y+1はD=1-2<0より≠0
これよりf(y)のグラフはf(-1)=5で最大。y=-1は 2^(1/4)≧1より満たす。①
次に最小値を求める。
y=-2^(1/4)の時
f(-2^(1/4))=-2+√2+2^(1/4)+3
y=2^(1/4)の時
f(2^(1/4))=-2+√2-2^(1/4)+3
∴f(2^(1/4))<f(-2^(1/4))②
①②より
最大値 d=√5 (x,y)=(+-1,-1)
最小値 d=√(1+√2-2^(1/4)) (x,y)=(0,2^(1/4))
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最終更新:2009年07月22日 01:04