12111009

NO.19-1　相反方程式 ～難易度☆☆★★★

説明

相反方程式が使えるのは限られたケースにおいてのみです。
(x+a/x)^2+p(x+a/x)+q=0を展開して
x^4+px^3+(q+2a)x^2+apx+a^2=0
これより、x^4の係数:x^0の係数=1:a^2,x^3の係数:xの係数=1:aの時に相反方程式の解法が使えます。
つまり、x^0の係数/x^4の係数=(xの係数/x^3の係数)^2の時に使えます。

問題

(1)
1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/06(金) 02:28:58.65 ID:8cTUeJQtO
   x^4+3x^3-2x^2+3x+1=0の実数解を求めよ 
(2)
64 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/05(日) 21:16:14.52 ID:hWQUxFdYO
   これはどうかな
   x^4＋3x^3＋2x^2＋3x＋1＝0
   をxについて解け 

解答

...

(1)x=-2+-√3 (2)x=+-i,(-3+-√5)/2

解説

(1) x=0はこの方程式を満たさないからx^2でわる。

x^2+3x-2+3/x+1/x^2=0

x^2+1/x^2+3(x+1/x)-2=0

(x+1/x)^2+3(x+1/x)-4=0

(x+1/x+4)(x+1/x-1)=0

(ⅰ)x+1/x+4=0の解を求める。

x^2+4x+1=0

x=-2+-√3

(ⅱ)x+1/x-1=0の解を求める。

x^2-x+1=0

x=(1+-i√3)/2　(ただし、これは虚数解より不適）

∴x=-2+-√3のみ

(2) x=0はこの方程式を満たさないからx^2でわる。

x^2＋3x＋2＋3/x＋1/x^2＝0

x^2+1/x^2+3(x+1/x)+2=0

(x+1/x)^2+3(x+1/x)=0

(x+1/x)(x+1/x+3)=0

∴x+1/x=0,x+1/x+3=0

(ⅰ)x+1/x=0の解

x^2=-1∴x=+-i

(ⅱ)x+1/x+3=0の解はx^2+3x+1=0

x=(-3+-√(3^2-4))/2=(-3+-√5)/2

よって、x=+-i,(-3+-√5)/2