12110012

12-1　合同式を利用した整数問題 ～難易度☆★★★★

問題

8 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/10(火) 00:15:46.13 ID:3FBaKJZe0
   x^2+y^2=2009を満たす自然数組(x,y)をすべてもとめよ

解答

...

(x,y)=(28,35)(35,28)

解説

右辺は2009＝41*7^2より左辺も7の倍数。

以下合同式の法を7とする。

x≡a(mod7)の時(-3≦a≦3とする)←(a=0～7でもよいが計算の簡略化のため)

x^2≡f(a)(mod7)とおくと

f(0)≡0,f(1)≡f(-1)≡1,f(2)≡f(-2)≡4,f(3)≡f(-3)≡2である。

x^2+y^2≡0を満たすx,yは上の結果からともに7の倍数でなければいけない。…①

これよりx=7X,y=7Yとおくと

X^2+Y^2=41あとは41＜7^2から0≦X≦6,0≦Y≦6の範囲で探しだします。

するとX=4の時Y=5で成立。またこの逆も式が対称的だから成立。

よって、この2組が存在。

∴(x,y)=(28,35),(35,28)

説明

• 三の倍数の性質～abcdefg…の数について(a,b,c,d,e…は各桁の数であるとする。)

  各桁の和が三の倍数なら3の倍数
  各桁の和が三の倍数+1なら3で割って1余る数
  各桁の和が三の倍数+2なら3で割って2余る数
  

• 一応証明。 　　　　　　a+b+c+d+e+f+g+…=3k+rとおく。

　　　　　　10^m*a+10^(m-1)*b+10^(m-2)*c+…=(10^m-1)a+(10^(m-1)-1)b+…+a+b+c+d+…=9(111…*a+111…*b+…)+3k+r

　　　　　　3(333…*a+333…*b+…+k)+r

　　　　　　これより、示される。

　　　　　　また、9の倍数についてもこれと同様の証明が出来る。

NO.12-2　3や9の倍数の問題 ～難易度☆☆★★★

問題

 5 ： ◆YGouKJioOM ：2009/02/15(日) 20:36:26.27 ID:rbdkbj930
   ２０７、２００７、２０００７のように、先頭が２で末尾が７で、
   間はすべて０であり、27で割り切れるが81で割り切れない整数の中で最も小さい数は？
   

• 補足 ただし0はひとつ以上つく。

解答

...

2000007

解説

いずれも各辺の和は9だから9で割り切れる。

9で割った値は

207→23,2007→223,・・・・

となるため2…23が3で割り切れて9で割り切れないものを求めればよい。

つまり各辺の和が3の倍数であるが9の倍数でなければよい。

2+2+2+3は9なので駄目。

2+2+2+2+2+2+3は15で成立。またこれが最小。

よって、222223×9=2000007

NO.12-3　3や9の倍数の問題2 ～難易度☆☆☆★★

問題

37 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 23:18:02.88 ID:KDIwLlOM0
   １から９までの数字が書かれたカードが１枚ずつ、計９枚あります
   これらを無作為に並べて９桁の整数を作るとき、その整数が３の倍数になる
   確率を求めよ

解答

...

1

解説

ある整数が3の倍数⇔各桁の和が3の倍数 必ず各桁に1～9がひとつずつ入るので 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45=3*15

これより3の倍数です。

NO.12-4　平方数と3の倍数　～難易度☆★★★★

問題

 65 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23:35:49.28 ID:mGZThfmM0
   >>61
   1,1,2,2,3,3,4,4を並べてできる数の中に平方数はいくつあるか 

解答

...

なし

解説

平方数を3で割ったあまりは、1か0である。・・・①

n=3a+rとした時、
n^2=3(a^2+2a)+r^2であり、rは0か1か2でその時のr^2は0か1か4で、
4は3で割って1余るからr=1の場合に帰着する。

また、三の倍数+rの条件は各桁の和が三の倍数+rであることを利用する。

1+1+2+2+3+3+4+4=20であるため1,1,2,2,3,3,4,4を並び替えてできる数は必ず3で割って2余る数である。

しかし、これは①の条件に反するため不適。

よって、存在しない。

NO.12-5　3の倍数の問題　～難易度☆☆★★★

問題

9 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/06(月) 21:29:55.94 ID:rcizyIBV0
   正の整数nに対してn^n+1が3で割り切れるものを全て答えよ

解答

...

n=6m-1(mは整数)

解説

n=3k+rとおくと(-1≦r≦1)

n^n≡(3k+r)^n≡r^n(mod3)(∵二項定理)

つまりr^n≡-1をみたす。…①

r=-1の時、(-1)^n≡-1を満たすnは奇数。n=3k-1が奇数になるにはkが偶数であればよい。(k=2m)とおくと

n=6m-1

r=1の時、r=0の時についてはこの式を満たすものはない。