12110012


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12-1 合同式を利用した整数問題 ~難易度☆★★★★

問題

8 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/03/10(火) 00:15:46.13 ID:3FBaKJZe0
   x^2+y^2=2009を満たす自然数組(x,y)をすべてもとめよ

解答

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説明

  • 三の倍数の性質~abcdefg…の数について(a,b,c,d,e…は各桁の数であるとする。)
    各桁の和が三の倍数なら3の倍数
    各桁の和が三の倍数+1なら3で割って1余る数
    各桁の和が三の倍数+2なら3で割って2余る数
    
  • 一応証明。

      a+b+c+d+e+f+g+…=3k+rとおく。

      10^m*a+10^(m-1)*b+10^(m-2)*c+…=(10^m-1)a+(10^(m-1)-1)b+…+a+b+c+d+…=9(111…*a+111…*b+…)+3k+r

      3(333…*a+333…*b+…+k)+r

      これより、示される。

      また、9の倍数についてもこれと同様の証明が出来る。

NO.12-2 3や9の倍数の問題 ~難易度☆☆★★★

問題

 5 : ◆YGouKJioOM :2009/02/15(日) 20:36:26.27 ID:rbdkbj930
   207、2007、20007のように、先頭が2で末尾が7で、
   間はすべて0であり、27で割り切れるが81で割り切れない整数の中で最も小さい数は?
   
  • 補足

ただし0はひとつ以上つく。

解答

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NO.12-3 3や9の倍数の問題2 ~難易度☆☆☆★★

問題

37 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/18(水) 23:18:02.88 ID:KDIwLlOM0
   1から9までの数字が書かれたカードが1枚ずつ、計9枚あります
   これらを無作為に並べて9桁の整数を作るとき、その整数が3の倍数になる
   確率を求めよ

解答

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NO.12-4 平方数と3の倍数 ~難易度☆★★★★

問題

 65 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/30(木) 23:35:49.28 ID:mGZThfmM0
   >>61
   1,1,2,2,3,3,4,4を並べてできる数の中に平方数はいくつあるか 

解答

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NO.12-5 3の倍数の問題 ~難易度☆☆★★★

問題

9 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/06(月) 21:29:55.94 ID:rcizyIBV0
   正の整数nに対してn^n+1が3で割り切れるものを全て答えよ

解答

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