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NO-10-1　おこぺぺまろろん　～難易度☆☆★★★

問題

44 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/06(月) 22:23:58.59 ID:6gakKBwpO
   おこぺぺまろろん
   の８字を並べかえてできる文字列のうち次の条件を満たすものはいくつあるか
   条件)お、こ、ま、ん
   の４つの文字は互いに隣り合わない

解答

...

720通り

解説

おこまん以外のぺぺろろの配置は

4C2通り…①

①のあるひとつに対して下の○のなかにおこまんを入れる場合の数は

○ぺ○ぺ○ろ○ろ○

5C4*4!通り…②

①×②より

6*5*4!=6!=720通り

NO.10-2　区別しない箱 ～難易度☆★★★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/11(木) 17:02:44.85 ID:BBFYDLvq0
   1から6までの番号が書かれたカードが１枚ずつ合計６枚あり、これらを３つの箱に分けて入れる。
   ３つの箱は区別できないものとするとき、次の各問いに答えよ。
   (1)空の箱がないようにするとき。カードの入れ方は何通りあるか。
   (2)空の箱があってもよいものとするとき、カードの入れ方は何通りあるか。
   (3)空の箱があってもよいものとする。箱に入っているカードの番号の和が１０であるような箱が存在するとき、カードの入れ方は何通りあるか

解答

...

(1)90通り (2)122通り (3)21通り

解説

厄介な問題です。

(1)　とりあえず、区別をつけた場合を考える。

この時、それぞれのボールの入り方を考えて3^6通りだが

空箱がないので

2箱空くとき 3通り

1箱空くとき 3(2^6-2)通り　から

3^6-3*2^6+3

ここで、区別をつけない場合の入れ方をx通りとすると

x×3!=(3^6-3*2^6+3)から

x=(3^5-2^6+1)/2=(244-64)/2=180/2=90通り

(2)　空箱をゆるすときの答えについて

1箱空くときをx通り2箱空くときをy通りとすると

x*3!=3(2^6-2) y*3=3より

x=2^5-1=31　y=1で(1)と合わせて

∴31+1+90=122通り

(3)これも区別をつけた場合から考える

ここで、和が10の組み合わせが存在する時には2箱あくことはないので

答えをx通りとするとx*3!が区別した場合の場合の数。

(6,4),(6,3,1),(5,4,1),(5,3,2),(4,3,2,1)の5通りであることに注意する。

その場所が3箇所の選び方があって、残りの2箇所について

残りカードがn枚の時、2^n通りあることより

3*(2^4+2^3×3+2^2)=3*44通りで

ここで、(6,4)(5,3,2)(1)がかぶってるからその並び替えの3!通りの除いて

132-6=126通り

x*3!=126より

x=21通り

NO.10-3　場合分け×場合の数 ～難易度☆★★★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/07/03(金) 23:16:08.88 ID:pddRlRHzO
   この問題教えて！
   １～８までの数があり同時に３枚取り出す。
   取り出した３枚の積が８の倍数の場合何通りか。

解答

...

30通り

解説

8の倍数は2^3の倍数と考える。

つまり、2がいくつ含まれるかで場合分け。

2^0→1,3,5,7…⓪
2^1→2,6…①
2^2→4…②
2^3→8…③

条件を満たすためには、

(1)③がある時(2)③がない時、②と①がある　の２パターンのみ考えられる。

(1)は8以外のカードの選び方を考えて7C2=21通り。

(2)は②と①と①or⓪の選び方を考えて2×4+1=9通り。(+1は2,4,6の場合)

これらより30通り