12160004

NO.1-1　面積の計算 ～難易度☆☆☆★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/12(日) 21:41:38.71 ID:U4wuXEcQ0
   a,bを正の定数とする。2つの曲線 y=x^3+bx^2, y=ax^2+abxによって囲まれる
   2つの部分の面積の和をSとする。
   1)Sをa, bで表せ
   2)a+b=1のとき、Sを最小にするa, bの値と、そのときのSの値を求めよ。 

解答

...

(1)S=(a^4+b^4)/12+ab(a^2+b^2)/6

(2)a=b=1/2,S=1/32

解説

(1)

とりあえず交点の座標は

x^3+bx^2=ax^2+abx

x(x^2+bx)=a(x^2+bx)から

x(x-a)(x+b)=0となります。a,bは正数より-b＜0＜a

これより面積は、

S=∫[x=-b,0]x(x-a)(x+b)dx+∫[x=0,a]-x(x-a)(x+b)dx

=∫[x=-b,0](x^3+(b-a)x^2-abx)dx+∫[x=0,a]-(x^3+(b-a)x^2-abx)dx

=(x^4/4+(b-a)x^3/3-abx^2/2)_[x=-b,0]-(x^4/4+(b-a)x^3/3-abx^2/2)_[x=0,a]

=-(b^4/4-(b-a)b^3/3-ab^3/2)-(a^4/4+(b-a)a^3/3-a^3b/2)

=-(a^4+b^4)/4+(b^3(b-a)-a^3(b-a))/3+ab(a^2+b^2)/2

=(a^4+b^4)/12-ab(a^2+b^2)/3+ab(a^2+b^2)/2

=(a^4+b^4)/12+ab(a^2+b^2)/6

(2)まあ、対称的な式なのでa=bが最小と推測してよいでしょう。

どんなやりかたでもいいですが、a+b=1で0＜a＜1,0＜b＜1も利用する。

すると相加相乗平均より

S=(a^4+b^4)/12+ab(a^2+b^2)/6≧(ab)^2/6+(ab)^2/3=(ab)^2/2(等号成立は二つともa=b=1/2)

∴S=1/32で最小

NO.4-2　直線と放物線に囲まれる面積 ～難易度☆☆☆★★

問題

(1)
1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/23(火) 20:45:56.37 ID:72EqPluTI
   y=x^2
   y=-2x-1
   y=4x-4
   これらのグラフに囲まれた範囲の面積を求めよ
(2)
放物線C:y=ax^2上でx座標がp,qである点P,Qを通る放物線の接線をそれぞれL_p,L_qとする。
また、L_pとL_qの交点を点Rとし、点Rを通りy軸に平行な直線をL_rとする。
この時、L_pとL_rと放物線Cに囲まれる面積S_pとL_qとL_rと放物線Cに囲まれる面積S_qについて
S_p=S_qであることを示せ。(ただし、p＜q,a＞0)

解答

...

(1)9/4 (2)解説参照

解説

それぞれの交点を求めると y=x^2とy=-2x-1の交点AはA(-1,1)

y=-2x-1とy=4x-4の交点BはB(1/2,-2)

y=4x-4とy=x^2の交点CはC(2,4)

でA,Cは接点なので

S=∫[x=-1,1/2](x+1)^2 dx +∫[1/2,2](x-2)^2 dx

=[(x+1)^3/3]_[x=-1,1/2]+[(x-2)^3/3]_[x=1/2,2]

=9/8+9/8=9/4

(2)は(1)の一般化として追加した問題

L_p:y=2ap(x-p)+ap^2=2apx-ap^2

L_q:y=2aqx-aq^2

これより交点Rのx座標は、(2ap-2aq)x=a(p^2-q^2)より x=(p+q)/2なので

S_p=∫[x=p,(p+q)/2]a(x-p)^2 dx =[a(x-p)^3/3]_[x=p,(p+q)/2]=a(q-p)^3/24

S_q=∫[x=(p+q)/2,q]a(x-q)^2 dx =[a(x-q)^3/3]_[x=(p+q)/2,q]=a(q-p)^3/24

∴S_p=S_q

• 補足 (1)に当てはめてp=-1,q=2,a=1を入れると

S=(2+1)^3/12=27/12=9/4より検算できる。

また、a＜0でも向き逆にすれば同じ計算で同じ結果が得られます。