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NO.11-1　大人数のじゃんけんで勝負がつく確率　難易度～☆☆★★★

問題

221 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/05(日) 22:34:08.11 ID:GdgM2wQV0
   じゃあ
   ｎ人でじゃんけんをするときに勝負がつく確率
   だれかやってみて 

解答

...

227 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/05(日) 22:37:34.55 ID:h5+O27JtO
   >>221
   ３(2^n-2)/3^n 

解説

まず、じゃんけんで勝負がつく場合を考えて見ましょう。

すると、グ、チ、パのうち２つのみが出ている　ということに置き換えられます。

たとえば、グとチだけだとして、その場合の数を考えると

一人についてグかチの2通りあるからn人については2^n通り。

ただし、全員グや全員チの場合の二通りはだめだから2^n-2通りです。

これが、チとパのときとパとグの時があるので三倍した3(2^n-2)が求める事象の数。

全体は、3^n通りだから求める確率は、

3*(2^n-2)/3^n

NO.11-2　何回目で勝負がつくか？　難易度～☆☆★★★

問題(有名問題)

NO.11-1の答えを利用して、n人がじゃんけんして勝負がつくために必要なじゃんけんの回数の期待値を求めよ。

解答

...

3^n/3*(2^n-2)

解説

P=3*(2^n-2)/3^nとおく。

m回目で勝負がつく確率は、

(1-P)^(m-1)*Pである。

よって、期待値は、

Σ[m=1,∞]m(1-P)^(m-1)*P

=PΣ[m=1,∞]m(1-P)^(m-1)

ここで、S_t=Σ[k=1,t]k(1-P)^(k-1)

(1-P)S_t= 1*(1-P)+2*(1-P)^2+…+(t-1)*(1-P)^(t-1)+t*(1-P)^t

S_t=1+2*(1-P)+3*(1-P)^2+…+t*(1-P)^(t-1)

P*S_t=1+(1-P)+…(1-P)^(t-1)-t*(1-P)^t

P*S_t=(1-(1-P)^t)/(1-(1-P))-t*(1-P)^tから

lim(t→∞)(P*S_t)

=1/P

∴期待値は、1/P これより

3^n/3*(2^n-2)

• 補足 15人以上のじゃんけんについては、期待値が100回を超えます。

が実際にやる時では10人くらいが賢明でしょう。