12120007

NO.4-1 定点　～難易度☆☆☆★★

問題

13 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/09(土) 15:31:32.60 ID:DIUJP/7i0
   kがk≠-√2を満たす定数であるとき
   x^2+y^2-1+k(x-y-√2)=0はkの値に関わらず定点Aを通る。定点Aの座標を求めよ。 

解答

...

A(1/√2,-1/√2)

解説

kの値に関わらずということは、恒等式の考え方を用いて

x^2+y^2-1=0…①

x-y-√2=0…②をともに満たす(x,y)がAである。

あとは、y=x-√2を①に代入して

x^2+(x-√2)^2-1=0

2x^2-2√2x+1=0

(√2x-1)^2=0より

x=1/√2,②に代入してy=-1/√2

∴A(1/√2,-1/√2)

• 補足 (x+k/2)^2+(y-k/2)^2=(k+√2)^2/2より

k≠-√2の時右辺は正なので上の式は円になる。

また、k=-√2の時は、(√2,-√2)の点。