12160005

NO.5-1　数列と極限 ～難易度☆★★★★

問題

333 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/03(火) 01:41:17.27 ID:vDALqt+20数列a[n]において
   a[n+1]=(p)^(a[n])、a[1]=p
   のとき、lim[n→∞]a[n]が有限値に収束する実数ｐの
   最大値を求めよ 

解答

...

解説

(1)

NO.5-2　数列と極限 ～難易度★★★★★

問題

228 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/07/15(金) 22:13:18.13 ID:gEpLjUrQ0
    数列{a[n]}を以下のように定める。
    a[1]=1 , a[2]=√2
    a[n+2]=|a[n+1]-a[n]|
    なお、√2が無理数であることは証明せずに用いてよいものとする。
    (1) lim[n→∞] a[n]を求めよ。
    (2) lim[n→∞] Σ[k=1,n]a[n]を求めよ。 

解答

...

(1)0 (2)3+2√2

解説

(1)

max{x,y,…}でx,y,…の中で最大のものを表すとすると、

a[n+2]＜max{a[n+1],a[n]}

a[n+3]＜max{a[n+2],a[n+1]}

∴max{a[n+2],a[n+3]}

＜max{a[n+2],a[n+1],a[n]}

＜max{a[n+1],a[n]}

∴max{a[n+1],a[n]}は減少数列。

0≦max{a[n+1],a[n]}よりmax{a[n+1],a[n]}は下に有界であるので収束する。その極限値をαとすると

α=|α-α|=0

∴lim[n→∞]a[n]=0

(2)

a[1]=1、a[2]=√2、a[3]=√2-1、a[4]=1、a[5]=2-√2、a[6]=√2-1、

a[7]=3-2√2、a[8]=3√2-4

∴(3-2√2)a[1]=a[7]

(3-2√2)a[2]=a[8]

以上と与漸化式から任意のnについて(3-2√2)a[n]=a[n+6]がいえる。

a[1]+a[2]+…+a[6]=2+2√2

a[6m-5]+a[6m-4]+…+a[6m]=b[m]とすると

b[m+1]=(3-2√2)b[m]

∴b[m]=(2+2√2)(3-2√2)^(m-1)

∴Σ[k=1,m]b[k]

=(2+2√2){1-(3-2√2)^m}/(-2+2√2)

=(3+2√2){1-(3-2√2)^m}

6m≦n≦6m+6、Σ[k=1,n]a[k]=S[n]とすると

S[6m]≦S[n]≦S[6m+6]

m→∞のときS[6m]→3+2√2、S[6m+6]→3+2√2から、ハサミウチの原理より

S[n]→3+2√2

となる。

NO.5-3　数列と極限 ～難易度★★★★★

問題

96：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2013/07/26(金) 17:38:02.00 ID:ju32204Sidownup

   自然数nに対して、次の方程式の実数解xの総和をF_nとする。
   [x]+[2x]+……+[nx]=(2+3+…+n)*x
   このとき、極限値
   Lim[n→∞]F_n/n^2
   を求めよ 
   

解答・解説

...

[x]+[2x]+……+[nx]=(2+3+…+n)*x……(1)

まず、S_n = 2+3+…+nとおく。

(1)の左辺は整数だから、右辺も整数となる。よって、

x = a + m/S_n(m=0,1,…,S_n-1)……(2)

という形で表せる。これより、(1)に代入すると、

Σ(k=1,n)[ka+km/S_n] = S_n*a + m

⇔(S_n+1)*a + Σ(k=1,n)[km/S_n] = S_n*a + m

⇔a = m - Σ(k=1,n)[km/S_n]……(3)

この式から、mを一つ定めると、aもただ一つの数に決まる。

つまり実数解はS_n個ある。

(3)を(2)に代入すると、

x = (S_n+1)/S_n*m - Σ(k=1,n)[km/S_n]

∴F_n = (S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)Σ(k=1,n)[km/S_n]……(4)

ここで、

x-1 < [x] ≦ x

であるから、

km/S_n-1 < [km/S_n] ≦ km/S_n

(4)にこの不等式を適用して、

(S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)Σ(k=1,n)km/S_n ≦ F_n < (S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)Σ(k=1,n)(km/S_n-1)

⇔(S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)(S_n+1)/S_n*m ≦ F_n < (S_n^2-1)/2 - Σ(m=0,S_n-1)(S_n+1)/S_n*m + n

⇔0 ≦ F_n < n

⇔0 ≦　F_n/n^2 < 1/n

はさみうちの原理より、F_n/n^2はn→∞において、0に収束する。