12120003

※上記の広告は60日以上更新のないWIKIに表示されています。更新することで広告が下部へ移動します。

NO.3-1 予選決勝法 ~難易度☆☆★★★

問題

1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/01/07(水) 21:15:47.06 ID:1lz40DQv0
   みんなで問題出してヒントとか出しつつ解こうぜ
   a,b,c,dは実数で、
   |a|≦2 ,|b|≦2 ,|c|≦2 ,|d|≦2,
   a+b=1,c+d=1を満たすとする
   このとき、ac+bdの最大値と最小値を求めよ 

解答

+...

最大値13,最小値-2

解説

とりあえず変数を減らしてみる。

b=1-a,d=1-c…①

|b|≦2,|d|≦2,|a|≦2,|c|≦2より

  • 2≦1-a≦2,-2≦1-c≦2かつ|a|≦2,|c|≦2

∴-1≦a≦2,-1≦c≦2…②

①の式を代入して、ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac+a+c+1…③

c=kと固定した時に

③は(2k+1)a+k+1となり、

2k+1≧0の時最大値5k+3,最小値-k

2k+1≦0の時最大値-k,最小値5k+3

次にcを動かす。

2≧c≧-1/2の時

最大値13,最小値-2

  • 1/2≧c≧-1の時

最大値1,最小値-2

∴最大値13,最小値-2

  • 補足
    --予選決勝法
    ある変数を固定して変数を減らして考える方法。
    二変数関数の場合には、f(x,y)=x^2+xy+y^2のy=a(または、x=a)と固定してf(x)=x^2+ax+a^2とするとただの二次関数になります。
    三変数以上でも同様にして変数を一つずつ固定していくことで同様に解くことができます。
    その場合の例題をNO.3-2に用意した。
    

NO.3-2 予選決勝法 ~難易度☆☆★★★

問題(自作)

f(x,y,z)=zy^2x^3+yx^2+x+1(-1≦z≦y≦0≦x≦1)の最大値,最小値を求めよ。

解答

+...

最大値2,最小値0

解説

めんどくさいやつを後回しにするのがベター。

xとyを先にx=a,y=bと固定すると-1≦z≦bで

f(z)=zb^2a^3+ba^2+a+1の一次関数はa≧0より傾きが正なので

最大値は、z=bの時のb^3a^3+ba^2+a+1

最小値は、z=-1の時の-b^2a^3+ba^2+a+1

まず、最大値についてyを解放すると-1≦y≦0で

f(y)=a^3y^3+a^2y+a+1

f'(y)=3a^3y^2+a^2≧0より単調増加だから

最大値は、y=0でa+1

f(x)=x+1(0≦x≦1)の最大値は、f(1)=2より

f(1,0,0)=2で最大。

次に最小値についてyを解放すると-1≦y≦0で

f(y)=-a^3y^2+a^2y+a+1でaが負よりf(-1)かf(0)で最小値をとる。

f(-1)=-a^3-a^2+a+1,f(0)=a+1で

a≧0よりf(-1)≦f(0)であるからf(-1)について考える。

f(x)=-x^3-x^2+x+1(0≦x≦1)

f'(x)=-3x^2-2x+1

f''(x)=-6x-2よりx>-1/3においてグラフは上に凸であるから

最小値はx=0かx=1の時で

f(1)=0,f(0)=1よりf(1)の時に最小。

∴f(1,-1,-1)=0で最小。

  • 補足 今回の問題の値が両方とも端にあるのは、仕様です。

問題としては、微妙な感じ。

ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。