NO.3-1 予選決勝法 ~難易度☆☆★★★
問題
1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/01/07(水) 21:15:47.06 ID:1lz40DQv0
みんなで問題出してヒントとか出しつつ解こうぜ
a,b,c,dは実数で、
|a|≦2 ,|b|≦2 ,|c|≦2 ,|d|≦2,
a+b=1,c+d=1を満たすとする
このとき、ac+bdの最大値と最小値を求めよ
解答
+
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... |
最大値13,最小値-2
解説
とりあえず変数を減らしてみる。
b=1-a,d=1-c…①
|b|≦2,|d|≦2,|a|≦2,|c|≦2より
-
2≦1-a≦2,-2≦1-c≦2かつ|a|≦2,|c|≦2
∴-1≦a≦2,-1≦c≦2…②
①の式を代入して、ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac+a+c+1…③
c=kと固定した時に
③は(2k+1)a+k+1となり、
2k+1≧0の時最大値5k+3,最小値-k
2k+1≦0の時最大値-k,最小値5k+3
次にcを動かす。
2≧c≧-1/2の時
最大値13,最小値-2
最大値1,最小値-2
∴最大値13,最小値-2
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NO.3-2 予選決勝法 ~難易度☆☆★★★
問題(自作)
f(x,y,z)=zy^2x^3+yx^2+x+1(-1≦z≦y≦0≦x≦1)の最大値,最小値を求めよ。
解答
+
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... |
最大値2,最小値0
解説
めんどくさいやつを後回しにするのがベター。
xとyを先にx=a,y=bと固定すると-1≦z≦bで
f(z)=zb^2a^3+ba^2+a+1の一次関数はa≧0より傾きが正なので
最大値は、z=bの時のb^3a^3+ba^2+a+1
最小値は、z=-1の時の-b^2a^3+ba^2+a+1
まず、最大値についてyを解放すると-1≦y≦0で
f(y)=a^3y^3+a^2y+a+1
f'(y)=3a^3y^2+a^2≧0より単調増加だから
最大値は、y=0でa+1
f(x)=x+1(0≦x≦1)の最大値は、f(1)=2より
f(1,0,0)=2で最大。
次に最小値についてyを解放すると-1≦y≦0で
f(y)=-a^3y^2+a^2y+a+1でaが負よりf(-1)かf(0)で最小値をとる。
f(-1)=-a^3-a^2+a+1,f(0)=a+1で
a≧0よりf(-1)≦f(0)であるからf(-1)について考える。
f(x)=-x^3-x^2+x+1(0≦x≦1)
f'(x)=-3x^2-2x+1
f''(x)=-6x-2よりx>-1/3においてグラフは上に凸であるから
最小値はx=0かx=1の時で
f(1)=0,f(0)=1よりf(1)の時に最小。
∴f(1,-1,-1)=0で最小。
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補足
今回の問題の値が両方とも端にあるのは、仕様です。
問題としては、微妙な感じ。
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最終更新:2009年05月20日 00:37