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NO.15-1　集合の問題 ～難易度☆☆★★★

問題

41 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/24(日) 23:50:44.04 ID:VHEESwnN0
   ある学校で生徒の通学距離を調べたところ、次のあ～えのことがわかった。
   このとき、通学距離が２ｋｍ遠く、３ｋｍ以内の生徒は何人いるか？
   あ　１ｋｍ以内の生徒は全体の１３分の１で、人数は９０人以下
   い　２ｋｍ以内の生徒は全体の１１分の２である
   う　３ｋｍ以内の生徒は全体の４分の１である
   え　１ｋｍより遠く、３ｋｍ以内の生徒は１００人以上 

解答

...

78人

解説

学校からの距離で

0～1～2～3 
 P　Q　R　S

と集合をおき、全体集合をn(U)とする。条件を整理して

n(P)=n(U)/13≦90…①

n(P⋃Q)=2*n(U)/11…②

n(P⋃Q⋃R)=1*n(U)/4…③

n(Q⋃R)≧100…④

となる。

n(Q)=n(P⋃Q)-n(P)=15*n(U)/143(∵②-①)…⑤

n(R)=n(P⋃Q⋃R)-n(P⋃Q)=3*n(U)/44(∵③-②)…⑥

n(Q⋃R)=n(Q)+n(R)=(15/143+3/44)*n(U)=(60+39)/572*n(U)(∵⑤+⑥)…⑦

④,⑦より

99/572*n(U)≧100…⑧

①,⑦より

13*90≧n(U)≧100*572/99

n(U)は整数より

1170≧n(U)≧578(先に⑨を出しておけば＞572ですむ。)…⑧

ここで、①,②,③について左辺が整数より右辺も整数なので

n(U)は13かつ11かつ4の倍数でつまりn(U)は572の倍数…⑨

⑧,⑨よりn(U)=1144

∴n(R)=3/44*1144=78(∵⑤)

• 補足 集合の問題は、人等の場合は自然数として扱うために整数問題と絡ませやすいので

整数問題的な攻め方（⑧と⑨あたり）が必要になるケースが稀ではないです。

NO.15-2　集合の問題2　～難易度☆☆☆★★

問題

194 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/25(月) 00:54:34.40 ID:O8smd9mP0
   ある高校で８０人の生徒を対象として、理科の選択状況を調べたところ、
   生物を選択している生徒は４０人、化学が４０人、物理が３５人だった。
   また、三科目全てを選択している生徒は１０人で、いずれか一科目だけを選択しているのは３５人だった
   残りは３科目とも選択していないかいずれか２科目を選択している生徒である。
   ３科目とも選択していない生徒は何人か？

解答

...

10人

解説

生物の集合をA,化学をB,物理をCとし、全体集合をn(U)とする。

n(U)=80,n(A)=40,n(B)=40,n(C)=35,n(A⋂B⋂C)=10,n(A⋃B⋃C)-n(A⋂B)-n(B⋂C)-n(C⋂A)+2*n(A⋂B⋂C)=35

これらより

n(A⋃B⋃C)=n(A⋂B)+n(B⋂C)+n(C⋂A)+15…①

また、

n(A⋃B⋃C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A⋂B)-n(B⋂C)-n(C⋂A)+n(A⋂B⋂C)

=125-(n(A⋂B)+n(B⋂C)+n(C⋂A))…②

①,②より55=n(A⋂B)+n(B⋂C)+n(C⋂A)

∴n(A⋃B⋃C)=70から

n(U)-n(A⋃B⋃C)=10

NO.15-3 東大レベルの問題 難易度～☆★★★★

問題

 132 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 21:22:53.44 ID:XJP+DC730
 －100から100までの実数の集合をA、すべての整数の集合をB、0以上の実数の集合をCとする。
 区間（－a≦ｘ≦a）におけるｆ（ｘ）をｆ1（ｘ）＝ｘ＾2、ｆ2（ｘ）＝（ｘ－1）＾2……ｆk+1（ｘ）＝（ｘ－k）＾2と定める。
（１）ｆ4（ｘ）の取りうる値の集合に対してA∩Cがその集合を満たす必要十分条件になるようにaの値を定めよ
（２）ｆｋ+1（ｘ）の取りうる値の集合に対してA∩C∩D（Bに属さない集合）が空集合となるｋの範囲を求めよ

• 補足 a≧0としてよい。

解答

...

(1)a=7 (2)a+10≦k

解説

(1)は作成者の言う通りで易問です。

A∩Cは0以上100以下の実数です。

f4(x)=(x-3)^2でこの関数の最大値はx=-aの時。これが100であればよいので

(-a-3)^2=100　a^2+6-91=0　(a+13)(a-7)=0よりa=7,-13。

a=-13の時は、a=-13の時に最大となるためx=-aが最大の条件に反する。

よって、a=7。

(2)

A∩C∩Dは0以上100以下の整数でない実数ということ。

fk+1の範囲が100以上の時を考える。

軸は、(a-k)^2≧100かつ(-a-k)^2≧100。

a-k≧10かa-k≦-10かつa+k≧10,a+k≦-10

a-10≧k,a+10≦kかつk≧10-a,k≦-10-a

これをまとめる

a+10≧10-aの時a≧0よりa+10≦kは満たす。

• 10-a≦a-10の時a≧0よりk≦-(10+a)である。

ただ、kは仮定より正であるからa+10≦k

NO.15-4　集合のスタンダード問題　～☆☆☆★★

問題

Ｑ１：
65人の学生に，昨日の食事について，
麺類・パン類・ご飯類のどれを食べたか調査したところ，
麺類を食べた学生は 28 人，パン類を食べた学生は 31 人，
麺類もパン類も食べた学生は 11 人で，３種類のどれも食べなかった学生はいなかった．
ご飯類だけを食べた学生は何人か．

解答

...

17人

解説

以下、集合Pの補集合をP',全体集合をUと表記し、

麺類を食べる人の集合をA
パン類を　〃　の集合をB
ご飯類を　〃　の集合をCとすると

条件よりn(U)=n(A∪B∪C)=65,n(A)=28,n(B)=31,n(A∩B)=11から

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=48なので

求める集合(A∪B∪C)∩(A∪B)'は

n((A∪B∪C)∩(A∪B)')=n((A∪B)')(∵(A∪B∪C)=U)

=n(U)-n(A∪B)(∵集合＋補集合＝全体集合)

=65-48=17

NO.15-5　倍数の個数　～☆☆☆★★

問題

Ｑ２：3 桁の正の整数で 3 でも 5 でも 7 でも割り切れないものは何個あるか．

解答

...

511

解説

倍数の集合は積集合が簡単に求められる

全体集合U={三桁の正整数}

A={3の倍数},B={5の倍数},C={7の倍数}とする。

先に個数を求めておくと

n(U)=999-100+1=900

n(A)=(999-102)/3+1=300

n(B)=(995-100)/5+1=180

n(C)=(994-105)/7+1=128

n(A∩B)=(990-105)/15+1=60(*1)

n(B∩C)=(980-140)/35+1=25(*2)

n(C∩A)=(987-105)/21+1=43(*3)

n(A∩B∩C)=(945-105)/105+1=9

求めるものは(A∪B∪C)'の個数なので

n((A∪B∪C)')=n(U)-n(A∪B∪C)

=n(U)-n(A)-n(B)-n(C)+n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)-n(A∩B∩C)(*4)

=900-(300+180+128)+60+25+43-9

=900-508+128-9

=511

計算量が多いのでミスの可能性は高いと思います(この解答もミスってるかも…)