NO.1-1 逆行列 ～難易度☆☆★★★
問題(自作)
![A[n] =\[\left( \begin{array}{ccc} a_{n+3} \ a_{n+2} \\ a_{n+1} \ a_{n} \end{array} \right) \]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=A%5Bn%5D%20%3D%5C%5B%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20a_%7Bn%2B3%7D%20%5C%20a_%7Bn%2B2%7D%20%5C%5C%20a_%7Bn%2B1%7D%20%5C%20a_%7Bn%7D%20%5Cend%7Barray%7D%20%20%5Cright%29%20%5C%5D)
![A[1]=\[\left( \begin{array}{ccc} -8 \ -4 \\ 2 \ \ \ 1 \end{array} \right) \]](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,ffffff00&chco=000000ff&chs=25&chl=A%5B1%5D%3D%5C%5B%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20-8%20%5C%20-4%20%5C%5C%202%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%20%5Cright%29%20%5C%5D)
を満たす行列{A[n]}が任意のnについてA_[n]が逆行列を持たないように数列a_[n]を決定せよ。
解答
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+
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... |
a_[n]=-2*(-4)^[n/2]/(1+3*(-1)^n) (ただし、右辺の[ ]はガウス記号)
または、nが偶数の時a_[n]=(-4)^(n/2)/-2、nが奇数の時a_[n]=(-4)^((n-1)/2)
解説
TeX数式のテストを含めて出題。
逆行列を持たない
⇔a_[n+3]*a_[n]-a_[n+1]*a_[n+2]
⇔a_[n+3]/a_[n+2]=a_[n+1]/a_[n](∵帰納法でa_[n]≠0)
ここで、nが奇数の時
a_[n+1]/a_[n]=a_[n-1]/a_[n-2]=a_[2]/a_[1]=2
nが偶数の時
a_[n+1]/a_[n]=a_[3]/a_[2]=-2
よって、nが偶数の時(n=2m)a_[2m]=(2)^m*(-2)^(m-1)*a_[1]=(-4)^m/-2
nが奇数の時(n=2m+1)a_[2m+1]=(2)^m*(-2)^m*a_[1]=(-4)^m
これをまとめて
a_[n]=(-4)^[n/2]/(-1/2-3*(-1)^n/2)…☆
=-2*(-4)^[n/2]/(1+3*(-1)^n)
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NO.1-2 多数の行列の積の逆行列 ～難易度☆☆☆★★
問題(自作)
正方行列A_i(i=1,2,…,n)について逆行列が存在する時にそれをA_i'とする。(B_i=(A_i)^(-1))
この時A_1*A_2*…*A_nは逆行列が存在することを示し、それをA_i'を用いてあらわせ。
解答
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+
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... |
(A_1*A_2*…*A_n)'=A_n'*A_(n-1)'*…*A_1'
解説
よくある教科書問題の一般化
ここで、その有名問題にもどって
A',B'が存在する時(AB)'=B'A'を示す。
AB*(B'A')=AA'=E
(B'A')*AB=B'B=Eより
AB*B'A'=B'A'*AB=Eから逆行列の定義に従って
ABの逆行列は存在し、(AB)'=B'A'。
これを利用して問題を解く。
A_1,A_2が逆行列をもつ⇒A_1*A_2が逆行列を持つが成立するからこれを何回も使って
A_1*A_2*A_3*…A_(n-1) ,A_nが逆行列をもつ⇒A_1*…*A_(n-1)*A_nが逆行列を持つ。
より
A_1～A_nが逆行列をもつ⇒A_1*…*A_(n-1)*A_nが逆行列をもつ が示される。
次に逆行列を求める。
(A_1*A_2*…A_n)'=( (A_1*A_2*…*A_(n-1))*A_n)'=A_n'*(A_1*A_2*…*A_(n-1))'
=A_n'*A_(n-1)'*(A_1*A_2*…*A_(n-2))'
=A_n'*A_(n-1)'*…*A_1'
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最終更新：2009年06月16日 20:55
