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NO.1-1 逆行列 ~難易度☆☆★★★

問題(自作)

A[n] =\[\left( \begin{array}{ccc} a_{n+3} \ a_{n+2} \\ a_{n+1} \ a_{n} \end{array}  \right) \]
A[1]=\[\left( \begin{array}{ccc} -8 \ -4 \\ 2 \ \ \ 1 \end{array}  \right) \]
を満たす行列{A[n]}が任意のnについてA_[n]が逆行列を持たないように数列a_[n]を決定せよ。

解答

+...
a_[n]=-2*(-4)^[n/2]/(1+3*(-1)^n) (ただし、右辺の[ ]はガウス記号)
または、nが偶数の時a_[n]=(-4)^(n/2)/-2、nが奇数の時a_[n]=(-4)^((n-1)/2)

解説

TeX数式のテストを含めて出題。

逆行列を持たない

⇔a_[n+3]*a_[n]-a_[n+1]*a_[n+2]

⇔a_[n+3]/a_[n+2]=a_[n+1]/a_[n](∵帰納法でa_[n]≠0)

ここで、nが奇数の時

a_[n+1]/a_[n]=a_[n-1]/a_[n-2]=a_[2]/a_[1]=2

nが偶数の時

a_[n+1]/a_[n]=a_[3]/a_[2]=-2

よって、nが偶数の時(n=2m)a_[2m]=(2)^m*(-2)^(m-1)*a_[1]=(-4)^m/-2

nが奇数の時(n=2m+1)a_[2m+1]=(2)^m*(-2)^m*a_[1]=(-4)^m

これをまとめて

a_[n]=(-4)^[n/2]/(-1/2-3*(-1)^n/2)…☆

=-2*(-4)^[n/2]/(1+3*(-1)^n)

NO.1-2 多数の行列の積の逆行列 ~難易度☆☆☆★★

問題(自作)

正方行列A_i(i=1,2,…,n)について逆行列が存在する時にそれをA_i'とする。(B_i=(A_i)^(-1))
この時A_1*A_2*…*A_nは逆行列が存在することを示し、それをA_i'を用いてあらわせ。

解答

+...

(A_1*A_2*…*A_n)'=A_n'*A_(n-1)'*…*A_1'

解説

よくある教科書問題の一般化

ここで、その有名問題にもどって

A',B'が存在する時(AB)'=B'A'を示す。

AB*(B'A')=AA'=E

(B'A')*AB=B'B=Eより

AB*B'A'=B'A'*AB=Eから逆行列の定義に従って

ABの逆行列は存在し、(AB)'=B'A'。

これを利用して問題を解く。

A_1,A_2が逆行列をもつ⇒A_1*A_2が逆行列を持つが成立するからこれを何回も使って

A_1*A_2*A_3*…A_(n-1) ,A_nが逆行列をもつ⇒A_1*…*A_(n-1)*A_nが逆行列を持つ。

より

A_1~A_nが逆行列をもつ⇒A_1*…*A_(n-1)*A_nが逆行列をもつ  が示される。

次に逆行列を求める。

(A_1*A_2*…A_n)'=( (A_1*A_2*…*A_(n-1))*A_n)'=A_n'*(A_1*A_2*…*A_(n-1))'

=A_n'*A_(n-1)'*(A_1*A_2*…*A_(n-2))'

=A_n'*A_(n-1)'*…*A_1'

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