12210008

NO.8-1　四面体の体積 ～難易度☆★★★★

問題

269 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/07(火) 03:48:13.60 ID:UY2Hdls70
   >>265は自分でも厳密に証明できる自信ないからこれで
   4つの面が全て3辺の長さがa，b，cの三角形であるような
   四面体が存在するときその体積をa,b,cであらわせ。 

解答

...

√(-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)/6√2

解説

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上図のような平行6面体を考える。

ここで、それぞれの対面の対角線が等しいことに注目すると

面は、長方形であることがわかる。

よって、全ての面が長方形より直方体を考える。

以下、直方体として扱う。

すると、辺の長さをx,y,zとして

x^2+y^2=a^2,y^2+z^2=b^2,z^2+x^2=c^2となるようにおくと

x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/2に注意して

x^2=(a^2-b^2+c^2)/2

y^2=(a^2+b^2-c^2)/2

z^2=(-a^2+b^2+c^2)/2である。

また、直方体の体積は、xyzであり

四面体の体積Vは、xyz-xyz×1/6×4=xyz/3

これより

V=xyz/3=√((-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)/8)/3

=√(-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)/6√2

• 補足 この式を変形させて三角関数を用いて表すと

V=√(2bc*cosA)*(2ca*cosB)*(2ab*cosC)/6√2

=abc√(cosA*cosB*cosC)/3

とすっきりした形になります。

また、a=b=cの場合については、

V=a^3/6√2となります。(正四面体の体積)

さらに存在条件については、Vが正の実数であることと同値で

cosA*cosB*cosC＞0ですから鋭角三角形の時です。