12210009

NO.9-1 内心の性質 ～難易度☆☆★★★

問題(自作)

三角形ABCの内心をIとして
AIとBCの交点を点Dとして以下同様にして点E,点Fをとる。
AI:ID=3:2,BI:IE=4:3とする。
(1)AB:BC:CAを求めよ。
(2)CI:IFを求めよ。

解答

...

(1)6:14:15

(2)29:6

解説

内心ということから、角の二等分線を色々な見方で使う問題です。

(1)角の二等分線の公式より

AI:ID=AB:BD=AC:CD=3:2

BI:IE=BC:CE=BA:AE=4:3

この結果を纏めます。

(AB+AC):(BD+CD)=(AB+AC):BC=3:2より(ⅰ)3BC=2(AB+CA)

同様にして(ⅱ)4CA=3(AB+BC)が導かれます。

(ⅰ)の3BC-2AB=2CAを(ⅱ)に代入して

3BC=7ABです。これより、5AB=2CAです。

AB:BC=3:7,AB:CA=2:5から

AB:BC:CA=6:14:15。

(2)CI:IF=a:bとして

CI:IF=BC:BF=AC:AF=a:bより

(BC+CA):AB=a:b

(1)より

29:6=a:bであるので

CI:IF=29:6

• 補足 図は少し意地悪しています。

NO.9-2 内心の性質２ ～難易度☆☆★★★

問題

50 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/10/09(金) 21:28:02.34 ID:rSMi7Uox0
   ∠A＝90度である直角三角形ABCの内心をIとする
   BIの延長とACの交点をP
   CIの延長とABの交点をQとする
   （１）∠BICの角度を求めよ
   （２）四角形BCPQの面積をSとするとき，三角形IBCの面積＝S/2であることを証明せよ 

解答

...

(1)135°(2)解説

解説

(1) (内心の定義に従う)

∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°…①(△IBCの内角の和)

∠IBC=∠ABC/2,∠ICB=∠ACB/2…②(BI,CIはそれぞれ角の二等分線)

∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°…③(△ABCの内角の和)

①,②より

2∠BIC+∠ABC+∠ACB=360°

③より

2∠BIC-∠BAC=180°　∠BAC=90°より

2∠BIC=270°

∴∠BIC=135°

(2) (以下の解答は面積比によるもの)

AIとBCの交点をRとする。

また、AB=c,BC=a,CA=bとする。

角の二等分線の公式より

AI:IR=AB:BR=AB:cBC/(b+c)=c:ac/(b+c)=(b+c):a

△ABCの面積をTとして

△BIC=T×a/(a+b+c)…①

次にBCPQの面積Sについて考える。

AQ:AB=b:(b+a),AP:AC=c:(c+a)より

△AQP:△ABC=bc:(b+a)(c+a)　(面積比)より

S:△ABC=△ABC-△AQP:△ABC=(b+a)(c+a)-bc:(b+a)(c+a)より

S=T(a^2+(b+c)a)/(b+a)(c+a)…②

①,②より

S:△BIC=a(a+b+c)/(a+b)(a+c):a/(a+b+c)

=(a+b+c)^2:(a+b)(a+c)

=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2:a^2+bc+a(b+c)

また、三平方の定理よりb^2+c^2=a^2をもちいて

=2(b^2+c^2)+2a(b+c)+2bc:b^2+c^2+a(b+c)+bc

=2:1

∴S:△BIC=2:1