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存在しない。
解説
証明が難しいというのが感想。(あってるか自信なし。)
とりあえず、a＜b＜cとする…①
例を考えると
たとえばa=99,b=108として
99 18 117
108 9 117となる。
このように桁が変わらないとこのようなことがおこらないことを示す。
(Ⅰ)aとbが同じ桁数n桁であり、最高位の数が同じと仮定する。☆
例えばn=3,最高位の数を3として
a=3st,b=3s't'とすれば(文字は0～9)
300+10s+t+3+s+t=300+10s'+t'+3+s'+t'として
11(s-s')=2(t'-t)とおける。
これよりt'-t≡11となる必要があるがこれは不可能。
このように
a=k_na_(n-1)…a_1,b=k_nb_(n-1)…b_1とすると(a_tはt桁目の数ということにする)
題意より
10^(n-1)k_n+10^(n-2)a_(n-1)+…+a_1+k_n+a_(n-1)+…a_1=10^(n-1)k_n+10^(n-2)b_(n-1)+…+b_1+k_n+b_(n-1)+…
b_1から
(10^(n-2)+1)(a_(n-1)-b_(n-1))+…+2(a_1-b_1)=0より
Σ[k=1,n-1](10^(k-1)+1)(a_k-b_k)=0
2(b_1-a_1)=Σ[k=2,n-1](10^(k-1)+1)(a_k-b_k)
より左辺偶数よりa_k-b_kは偶数。(n-1≧k≧2)
また、これより8≧a_k-b_k≧-8。
また、a_k-b_k=Δ_kとしてこの結果を用いて
(10^(n-1)+1)Δ_n+(10^(n-2)+1)Δ_(n-1)
=10^(n-2)(10Δ_n+Δ_(n-1))+Δ_n+Δ_(n-1)で
Δ_n≠0⇒10Δ_n+Δ_(n-1)≠0であり、
更にk≦n-2については桁数が(n-1)より小さいから
右辺はn-1桁。これは、左辺が2桁以下より不適。
∴Δ_n=0
同様にこれを繰り返していくとΔ_n=…=Δ_4=0がいえる。
2Δ_1=101Δ_3+11Δ_2
101Δ_3=2Δ_1-11Δ_2でΔ_3は偶数よりΔ_3≠0ならば
202≦|2Δ_1-11Δ_2|を満たすΔ_1,Δ_2が存在すればよいが
|2Δ_1-11Δ_2|≦16+88=104より不適。∴Δ_3=0
2Δ_1=11Δ_2についてもこれを満たすΔ_1,Δ_2は0以外に存在しない。
以上の結果より、Δ_n=Δ_(n-1)=…=Δ_1=0から
a=bとなるため、
最高位が一致し、同じ桁の時には、これを満たすa,bは存在しない。…☆
(Ⅱ)同じn桁で最高位が一致しない時
c-a≧2*10^(n-1)である。
また、9n＞f(a)≧1より
c-a≧2*10^(n-1)＞9n＞f(a)-f(c)であるから
n≧2においてこれを満たすnは存在しない。
n=1は明らかに存在しないから同じ桁数の時に、これを満たすa,b,cは存在しない。…★
(Ⅲ)同じ桁でない時(一般)
(Ⅱ)より桁数では存在しないからaをn桁cをm桁とすると
bはn+1桁以上よりcはn+2桁以上で
∴c-a≧10^(m-1)-(10^n-1)=(10^(m-1-n)-1)10^n+1
9m≧f(c)≧1,9n≧f(a)≧1より
9n≧f(a)-f(c)より
c-a≧(10^(m-1-n)-1)10^n+1≧9*10^n+1＞9n＞f(a)-f(c)より
n≧1について等号を満たさない。
∴これをみたすa,b,cは存在しない。
まず、細かいところから示して一般化していこうという方針でときました。
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