210131

①

(1)
sina°=sina(0≦a≦180)を満たすaはいくつあるか？
(2)
y=sinx°とy=sinxが接することはあるか？あるなら1つ例を示し、ないならそれを示せ。

②

sinθ+cosθ=k=√2sinαを満たす時、(k,αは定数)
(1)A_n=sin^nθ+cos^nθの値をα,nを用いて表せ
(2)A_nの値をk,nを用いて表せ

③

xy平面において
中心がx座標が十分に小さいある点から速さvでy=tanθx上をx軸正方向へ動く半径rの円Cおよび
x軸上に長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で
以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…―　―　―　―　―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく
(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ

④

△ABC_[1]について、AB_[1]=c_[1]=c,BC_[1]=a_[1]=a,CA_[1]=b_[1]=bとおく。
同様に、自然数nについて定義された△ABC_[n]について、AB_[n]=c_[n],BC_[n]=a_[n],CA_[n]=b_[n]とする。
また、任意のnに対して△ABC_[n]と△ABC_[n+1]は以下の条件を満たす。
点A_[n]から直線BC_[n]に下ろした垂線の長さをa_[n+1]
点B_[n]から直線CA_[n]に下ろした垂線の長さをb_[n+1]
点C_[n]から直線AB_[n]に下ろした垂線の長さをc_[n+1]
c=1の時以下の問に答えよ。
(1)△ABC_[1]が作られているためのa,bの条件を求めよ。
(2)△ABC_[n]が任意のnで作られているためのa,bの条件を求め、それを(a,b)グラフとして図示せよ。

⑤

面積S_nの正n(n≧3)角形の全ての辺について、その辺からα(rad)(0＜α＜π(1/2-1/n))だけずれた直線を引き、
その直線により囲まれる図形の面積をS'_nとする。
S=lim(n→∞)S'_n/S_nをαを用いてあらわせ。

⑥

半円:y=√(1-x^2)に一点とy=0(-1≦x≦1)に一点を接して
隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時
(1)Σ[k=1,n]1/r_kの最小値m_nを求めよ
(2)m_nが有理数となるnをすべて求めよ