12210012

NO.12-1　四角形 ～難易度☆★★★★

問題(大学受験版:灘高の数学って難しくない？　より)

12 名前： 名無しさん  投稿日： 01/11/22 15:06
   四辺形ＡＢＣＤの対辺ＡＢ、ＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとする。
   ①２ＭＮ≦ＡＤ＋ＢＣ　を証明せよ
   ②対角線ＡＣ、ＢＤの長さが一定値ａ、ｂであるとき、①を用いて
   （ＡＢ＋ＣＤ）の二乗＋（ＡＤ＋ＢＣ）の二乗の最小値をａ、ｂで
   表せ。

• 補足 四辺形は四角形に同じ。平行四辺形ではない。

解答

...

①解説参照

②2(a^2+b^2)

解説

①図のように四角形BCNMをNを中心にした点対称な図形をとる。

B'やM'も図のようにとる。

すると

四角形ABM'B'は平行四辺形になるため

MM'=AB'である。

また、AD+DB'≧AB'はDがどこにあってもいえる。

DB'=BC,AB'=MM'=2MNより

AD+BC≧2MNが示される。

また、等号成立はDがAB'上で

AD//BCの台形であること。

②

①より（ＡＢ＋ＣＤ）の二乗＋（ＡＤ＋ＢＣ）の二乗≧4MN^2+4PQ^2

(P,QはそれぞれBC,DAの中点)

この時等号成立条件より四角形ABCDは平行四辺形である。

これよりPQ=AB,MN=BCで

4MN^2+4PQ^2=4((a/2)^2+(b/2)^2-abcosα/2)+4((a/2)^2+(b/2)^2+abcosα/2)

=2(a^2+b^2)　(余弦定理)