12210012


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NO.12-1 四角形 ~難易度☆★★★★

問題(大学受験版:灘高の数学って難しくない? より)

12 名前: 名無しさん  投稿日: 01/11/22 15:06
   四辺形ABCDの対辺AB、CDの中点をそれぞれM、Nとする。
   ①2MN≦AD+BC を証明せよ
   ②対角線AC、BDの長さが一定値a、bであるとき、①を用いて
   (AB+CD)の二乗+(AD+BC)の二乗の最小値をa、bで
   表せ。
  • 補足

四辺形は四角形に同じ。平行四辺形ではない。

解答

+...

①解説参照

②2(a^2+b^2)

解説

①図のように四角形BCNMをNを中心にした点対称な図形をとる。

B'やM'も図のようにとる。

すると

四角形ABM'B'は平行四辺形になるため

MM'=AB'である。

また、AD+DB'≧AB'はDがどこにあってもいえる。

DB'=BC,AB'=MM'=2MNより

AD+BC≧2MNが示される。

また、等号成立はDがAB'上で

AD//BCの台形であること。

①より(AB+CD)の二乗+(AD+BC)の二乗≧4MN^2+4PQ^2

(P,QはそれぞれBC,DAの中点)

この時等号成立条件より四角形ABCDは平行四辺形である。

これよりPQ=AB,MN=BCで

4MN^2+4PQ^2=4((a/2)^2+(b/2)^2-abcosα/2)+4((a/2)^2+(b/2)^2+abcosα/2)

=2(a^2+b^2) (余弦定理)

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