12111011

NO.11-1　特別な三次方程式 ～難易度☆★★★★

問題

45 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23:02:55.80 ID:khRNV4zVO
   自作
   ３次方程式
   x^3-3x+1=0
   の3解を大きいほうから α β γとしたとき
   α^2+β^2+αの値 

解答

...

4

解説

12130001のNO.1-1に深く関係している。

ただ、ここでは早大の問題の小問を引用させてもらった。

β=α^2-2,γ=β^2-2としてあらわせることを示す。

β^3-3β+1

=(α^2-2)^3-3(α^2-2)+1

=(α^6-6α^4+12α^2-8)-3(α^2-2)+1

=α^6-6α^4+9α^2-1

ここで、αはx^3-3x+1=0の解より

α^3=(3α-1)なので

上の式に代入して

(3α-1)^2-6α^4+9α^2-1=0よりβも解である。

βは、解であるからβはαに置き換えられ、γをβに置き換えることでγも成立。

よって、

α^2+β^2+α

=2+β+2+γ+α

=4+(α+β+γ)

ここで、α+β+γは三次方程式の解と係数の関係より0。

∴4