12130006


※上記の広告は60日以上更新のないWIKIに表示されています。更新することで広告が下部へ移動します。

NO.1-1 二次関数への帰着 ~難易度☆☆☆★★

問題

16:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2009/07/20(月) 00:44:29.22 ID:MAjApoqj0 
aは定数とする 
f(x)=4^x+4^(-x)-a(2^x+2^(-x))+a^2 
minを求めよ 
レベル2おっぱい 

解答

+...

a≧4の時は3a^2/4-2で最小。

a<4の時はa^2-2a+2で最小。

解説

f(x)=(2^x+2^(-x))^2-2-a(2^x+2^(-x))+a^2と変形されるから

t=2^x+2^(-x)とおくと

f(t)=t^2-at+a^2-2

=(t-a/2)^2+3a^2/4-2

さて、ここで、tの範囲を求めると

t=2^x+2^(-x)は2^x,2^(-x)ともに正であるから相加相乗平均より

t≧2

よって、

f(t)=(t-a/2)^2+3a^2/4-2(t≧2)の最小値を求めればよい。

これより

a/2≧2の時(a≧4)はf(a/2)=3a^2/4-2で最小。

a/2<2の時(a<4)はf(2)=a^2-2a+2で最小。

ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。