12130006

NO.1-1　二次関数への帰着 ～難易度☆☆☆★★

問題

16:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2009/07/20(月) 00:44:29.22 ID:MAjApoqj0 
aは定数とする 
ｆ（ｘ）=4＾ｘ+4＾（-ｘ）-a(2^x+2^(-x))+a^2 
minを求めよ 
レベル2おっぱい 

解答

...

a≧4の時は3a^2/4-2で最小。

a＜4の時はa^2-2a+2で最小。

解説

f(x)=(2^x+2^(-x))^2-2-a(2^x+2^(-x))+a^2と変形されるから

t=2^x+2^(-x)とおくと

f(t)=t^2-at+a^2-2

=(t-a/2)^2+3a^2/4-2

さて、ここで、tの範囲を求めると

t=2^x+2^(-x)は2^x,2^(-x)ともに正であるから相加相乗平均より

t≧2

よって、

f(t)=(t-a/2)^2+3a^2/4-2(t≧2)の最小値を求めればよい。

これより

a/2≧2の時(a≧4)はf(a/2)=3a^2/4-2で最小。

a/2＜2の時(a＜4)はf(2)=a^2-2a+2で最小。