12160007

NO.7-1 体積 ☆☆★★★

問題

23 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/07/27(月) 20:51:22.21 ID:EVaf5WO3O

   xyz空間において、四面体ＯＡＢＣを
   (i)２点Ａ,Ｂは原点Ｏを中心とするxy平面上の単位円上にある
   (ii)点Ｃはz軸上にある
   (iii)∠ＡＣＢ=α(0<α<π)
   を満たすもののうち、体積が最大であるものとする。
   四面体ＯＡＢＣの体積をV(α)とおく。
   α→0としたとき、αV(α)の極限値を求めよ。ただし、原点をＯとする。 

解答

...

4√3/27

解説

A(1,0),B(cosθ,sinθ),C(0,c)とすると

△ABCにおける余弦定理より

(2sin(θ/2))^2=2(1+c^2)-2(1+c^2)cosα=2(1+c^2)(1-cosα)より

(1-cosθ)=(1+c^2)(1-cosα)…①

V=c/6*sinθ

V^2=sinθ^2c^2/36=sinθ^2*{(1-cosθ)/(1-cosα)-1}/36(∵①)

=(1-cosθ^2)*(　(1-cosθ)/(1-cosα)-1)/36…②

cosθ=tとして右辺=f(t)とすると

f(t)=(1-t^2)(　(1-t)/(1-cosα)-1)/36=(1-t^2)(cosα-t)/36(1-cosα)

36(1-cosα)f'(t)=3t^2-2cosαt-1

3t^2-2cosαt-1の解は

t=(cosα+-√(　(cosα)^2+3))/3で増減を考えるとt=(cosα-√(　(cosα)^2+3))/3でf(t)は最大よりこの時Vも最大で

cosθ=(cosα-√(　(cosα)^2+3))/3を考慮にいれて極限を考えると…③

lim(α→0)αV(α)=lim(α→0)√α^2{(1-cosθ^2)*(　(1-cosθ)/(1-cosα)-1)}/6

=lim(α→0)√{(1-cosθ^2))*((1-cosθ)α^2/(1-cosα)-α^2}/6

ここで、③よりcosθはα→0の時cosθ→-1/3に収束する…④

また、α^2/(1-cosα)=α^2(1+cosα)/(1-cosα)(1+cosα)=α^2(1+cosα)/sin^2αから

α→0の時にα^2/(1-cosα)は2に収束。…⑤

④,⑤より

lim(α→0)√{(1-cosθ^2))*((1-cosθ)α^2/(1-cosα)-α^2}/6

=√{(1-1/9)*(4/3*2)}/6=√(8/9*8/3)/6

=4√3/27

• 元ネタ 東工大AO '08 課題I-1(同問)