12110000

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/23(金) 15:05:57.78 ID:eAj8iA0b0
   a^3-b^3-c^3=21
   を満たす整数a,b,cを求めてください

　

54 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 23:15:51.52 ID:GYodBiaLP
   【問題】
   数Aを4444の4444乗とする
   Aの各桁の数の和をBとする
   Bの各桁の数の和を求めよ 

補足

...

この問題は以下の問題の間違いだと思われる。
数Aを4444の4444乗とする
Aの各桁の数の和をBとする
Bの各桁の数の和をCとする
Cの各桁の数の和を求めよ

解答

...

7

解説

求める数をDとする
　A < 10000^4444 = 10^22220 よりAの桁数は22220未満
よってB≦9 * 22220 = 199980
ゆえにBは6ケタ以下の数であり、したがって
C < 9 * 6=54
54未満の整数で各桁の数の和が最大になるのは49で、その値は13
よって　D ≦ 13　・・・(*)
ここで、mod A = mod D が成り立つので
A = (9*493+7)^4444
≡ 7^4444 ≡ (7^3)^1481 * 7 ≡ 1 * 7 ≡ 7 (mod 9) (7^3 = 343 = 9 * 38 + 1)
よって D ≡ 7 (mod 9)で、(*)より、D = 7

96 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/31(金) 00:29:32.75 ID:vMACl/750
   (１)
   x^y+1=777・・・7(各桁がすべて7の整数)となる2以上の整数の組(x,y)をすべて求めよ
   （２）
   x^y-1=555・・・5(各桁がすべて5の整数)となる2以上の整数の組(x,y)をすべて求めよ 

解答((1)のみ、不完全)

...

x^y+1は7の倍数だから、x^y ≡ -1 (mod 7) でなければならない。
x = 7n+1のとき
　x^y ≡ 1 (mod 7)
x = 7n+2のとき
　x^y ≡ 1,2,4 (mod 7)
x = 7n+3のとき
　x^y ≡ 2,3,6 (mod 7)
x = 7n+4のとき
　x^y ≡ 1,2,4 (mod 7)
x = 7n+5のとき
　x^y ≡ 1,2,3,4,5,6 (mod 7)
x = 7n+6のとき
　x^y ≡ 1,6 (mod 7)
よってxは 7n+3 or 7n+5 or 7n+6 型
　　とりあえず6^5+1=7777で(x,y) = (6,5)はみつけた

19 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/09/03(木) 01:33:32.39 ID:pQ4fHd1sO
   a^2+2=b^3を満たす正整数の組(a,b)を全て求めてください 
(a=5,b=3が解なので(a-5)(a+5)=(b-3)(b^2+3b+9)とすると場合わけしまくれば解ける方法は思いついたが解説書けるような量じゃない)