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無限に存在。
解説
とりあえずAを求めます。
y=[x]としてz=y^2+x^2となるのでzはy=[x]上のある点から原点までの距離の二乗である。
⇔原点から円をかいた時にy=[x]と交わらない時の半径の二乗がAに含まれる。
これを調べて
Aは0未満の実数とN^2+(N+1)^2(Nは整数)である。平方数を探すので
N^2+(N+1)^2についてのみ考える。
2N^2+2N+1=m^2とおく(mは整数)
2(N+1)N=(m+1)(m-1)
N=0,-1の時は左辺0よりm^2=1で成立。
それ以外の時
左辺偶数より右辺偶数。これよりmが奇数であることが、必要条件。
m=2K+1とおくと
2(N+1)N=4(K+1)K
(N+1)N=2(K+1)K
(N+1)N-2K(K+1)=0から
(2N+1)^2-2(2K+1)^2=-1と変形される。…①
ここで、A^2-2B^2=-1について考える。
a^2-2b^2=1のペル方程式が(a+2b)^2-2(a+b)^2=-1になることから、
a^2-2b^2=1のペル方程式をといて、A=a+2b,B=a+bとすればよい。…②
a^2-2b^2=1の解は、a=3,b=2の時に最小解をもつから、
すべての自然数解(a_k,b_k)は、
a_k+b_k√2=(3+2√2)^kとあらわされる。
①に戻ってA=2N+1,B=2k+1でA,Bがあらわされるため、A,Bは奇数。
この時、a,bは、②よりaが奇数,bが偶数である。…③
これを満たすような(a_k,b_k)の組を求める。
ここで、a_k,b_kはともにつねに③を満たすことを証明する。
a_k+b_k√2=(3+2√2)^k=(3+2√2)^(k-1)*(3+2√2)=(a_(k-1)+√2b_(k-1))(3+2√2)
=3a_(k-1)+4b_(k-1)+(2a_(k-1)+3b_(k-1))√2より
a_k=3a_(k-1)+4b_(k-1),b_k=2a_(k-1)+3b_(k-1)…④
a_1,b_1はともに③を満たす。
a_n,b_nがともに③を満たす時、a_(n+1)とb_(n+1)は、④からともに③を満たす。
よって、全ての(a_k,b_k)は、A,Bが奇数である条件を満たす。
∴自然数組(a_k,b_k)は無数に存在するため自然数組(N,m)も無数に存在する。
参考
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