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問題数4問 解答時間150分

①△ABCの内心をIとしてAIとBCの交点をD,BIとCAの交点をE,CIとABの交点をFとする時に
AI:ID=a:1,BI:IE=b:1,CI:IF=c:1とあらわせるとする。
この時、a,b,cが全て自然数である時の(a,b,c)の組を全て求めよ。
②P_k(cos2kπ/n,sin2kπ/n)(1≦k≦n)のn個の点をm種類の色を使って隣同士が同じ色にならないように塗る。
この時の点の塗り方は何通りできるか?
③直円錐C:x^2+y^2=(1-z/√3)^2と点A(1/2,√3/2,0),点B(1/2,-√3/2,0)がある。
AからBまで円錐Cの面上を結んだときの線の長さをlとする。
(1)lの最小値を求めよ
(2)(1)のlとxy平面に囲まれた部分Dの面積Sを求めよ
④円C_a,円C_b,円C_cはある三点で互いに外接する。
この時その三点を通る円の面積をS,C_aとC_bとC_cに囲まれた部分の面積をS'としてS'/Sの最大値を求めよ。
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