210142


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  • 配点(250点満点)

①60点②60点③70点④60点

  • 解答

①(a,b,c)=(2,2,2)

②n=1の時m通り

n≧2の時A_n=(m-1)( (m-1)^(n-1)-(-1)^(n-1))通り

③(1)2 (2)3/2+√3log(2-√3)/4

④3√3/π-3/2

  • 各問の必要な知識と難易度

①内心,整数問題 ☆☆★★★

②順列,数列,漸化式 ☆★★★★

③(1)展開図(積分の線の長さ) ☆☆☆★★

(2)積分 ☆★★★★

④内心,(ジェンセン(凸関数)の不等式),微分 ☆★★★★

問題数4問 解答時間150分

①△ABCの内心をIとしてAIとBCの交点をD,BIとCAの交点をE,CIとABの交点をFとする時に
AI:ID=a:1,BI:IE=b:1,CI:IF=c:1とあらわせるとする。
この時、a,b,cが全て自然数である時の(a,b,c)の組を全て求めよ。

①は、少し甘めのつもり

内心≡それぞれの角の二等分線の交点

を使うだけで、前半は終了。

AI:ID=a:1=AB:BD=AC:CDより

AB=aBD,AC=aCDからAB+AC=aBCで同様に

BA+BC=bAC,CA+CB=cABとなる。

AB+AC=aBC
BA+BC=bAC
CA+CB=cAB

を解いて

abc=2+a+b+c…☆

後半。普通にやってもできますが、a=A-1,b=B-1,c=C-1で置換すると…。

(A-1)(B-1)(C-1)=A+B+C-1より

ABC=AB+BC+CA(A,B,Cは2以上の自然数)…☆'

これをABCで割ると

1=1/A+1/B+1/C(A,B,Cは2以上の自然数)

整数問題の典型問題に帰着。

A≦B≦Cとして1/A≧1/B≧1/Cとなるから

1=左辺≦3/Aなので(2≦)A≦3である。

A=2の時

1/2=1/B+1/Cを解く。両辺2BC倍して

BC-2B-2C=0

(B-2)(C-2)=4 約数を考えてこれを満たす(B,C)は

(3,6)(4,4)のみ

A=3の時

2/3=1/B+1/Cの両辺を6BC倍して

4BC-6B-6C=0

(2B-3)(2C-3)=9 同様に約数を考えて

(B,C)=(3,3)のみ(B≧3であることを考える)

以上より並べ替えを含めて

(a,b,c)=(1,2,5)(1,5,2)(2,1,5)(2,5,1)(5,1,2)(5,2,1)(1,3,3)(3,1,3)(3,3,1)(2,2,2)

AB+AC=aBC
BA+BC=bAC
CA+CB=cABから

(1+b)AC=(a+1)BC=(1+c)ABより

AB:BC:CA=1/(c+1):1/(a+1):1/(b+1)で

(1,2,5)の時

1/2:1/3:1/6より6:3:2だがこれは、三角形を作らず不適

(1,3,3)の時

1/4:1/2:1/4より1:2:1だがこれも三角形を作らず不適

∴(2,2,2)に限る。(この時△ABCは正三角形)

  • 補足

比を表す際にA:全体として表すかA:Bとして表すかの二通りが少なくとも存在する。

今回は、問題がA:Bの形でしたがa=A-1への変更は、A:全体に直してるのと同じ意味です。

②P_k(cos2kπ/n,sin2kπ/n)(1≦k≦n)のn個の点をm種類の色を使って隣同士が同じ色にならないように塗る。この時の塗り方は何通りできるか?

円に並んでいても円順列とは限りません。(本問では、点が固定されてる)

nのときについて、P_1~P_nは同色でない場合に

P_1とP_nが同色になる場合をB_n通り

同色にならない場合をA_n通りとする。

n=1の時はm通りだからn≧2で考える。その時m=1の時は0だからm≧2で考える。

またn+1番目はP_1とP_nに挟まれていることに注意して

A_(n+1)=(m-2)A_n+(m-1)B_n

B_(n+1)=A_nより

A_(n+1)=(m-2)A_n+(m-1)A_(n-1)から

A_(n+1)+A_n=(m-1)(A_n+A_(n-1))…①

A_(n+1)-(m-1)A_n=-(A_n-(m-1)A_(n-1))…②

A_3=m(m-1)(m-2),A_2=m(m-1)より

①よりA_(n+1)+A_n=(m-1)^(n-2)(A_3+A_2)=(m-1)^(n-1)*m(m-1)

②よりA_(n+1)-(m-1)A_n=(-1)^(n-2)(A_3-(m-1)A_2)=(-1)^(n-1)*m(m-1)

∴mA_n=m(m-1)( (m-1)^(n-1)-(-1)^(n-1))より

A_n=(m-1)( (m-1)^(n-1)-(-1)^(n-1))

m=1の時は、A_nの一般形に帰着されるため

以上より

n=1の時m通り
n≧2の時A_n=(m-1)( (m-1)^(n-1)-(-1)^(n-1))通り
  • 補足

n=1の時は、隣がないため特別な形をとることに注意。そのため、A_3とA_2の場合を用いる。

A_n=m(m-1)^(n-1)は誤答例。n=3の場合を実際に考えれば違うことがわかる。実験は重要。

色の数が決まって無くても綺麗に求まる辺りが一般的でいいなと思い出題しました。

③直円錐C:x^2+y^2=(1-z/√3)^2と点A(1/2,√3/2,0),点B(1/2,-√3/2,0)がある。
AからBまで円錐Cの面上を結んだときの線の長さをlとする。
(1)lの最小値を求めよ
(2)(1)のlとxy平面に囲まれた部分Dの面積Sを求めよ

(1)

展開図を考える方法がシンプル

母線2,底面の半径1の円錘の展開図とA,Bをとって直線でつなげばよい。

よってAB=2

(2)ABの中間地点で丁度半分の地点を通ることと展開図が直線であることより

x=1/2の断面積に同値。

zで切り取って長さの和を求めるか直接求めるかとかがありますが解答ではzの切り取りで

z=tで切り取ると断面の円の半径が1-t/√3でx=1/2だから

断面の長さは2√((1-t/√3)^2-1/4)より

S=2∫(0→√3/2) √((1-t/√3)^2-1/4) dt

1-t/√3=s/2としてds/dt=-2/√3で

S=√3/2*∫(1→2)√(s^2-1) ds

=√3/2∫(1→2)s√(1-1/s^2) ds

s=1/cosθとおけばds/dθ=sinθ/cosθ^2より

S=√3/2*∫(0→π/3)sinθ^2/cosθ^3 dθ

sinθ=tとおけばdt/dθ=cosθで

=√3/2*∫(0→√3/2)t^2/(1-t^2)^2cosθ*cosθ dt

=√3/8*∫(0→√3/2)(1/(t+1)+1/(t-1))^2 dt

=√3/8*∫(0→√3/2)1/(t+1)^2+1/(t-1)^2+1/(t-1)-1/(t+1) dt

=√3/8*[-1/(t+1)-1/(t-1)+log|(t-1)|-log|t+1|](0→√3/2)

=√3/8*[2t/(1-t^2)+log(1-t)/(1+t)](0→√3/2)

=√3/8(√3/(1-3/4)+log(1-√3/2)/(1+√3/2))

=√3/8(4√3+log(2-√3)/(2+√3))

=√3/8(4√3+2log(2-√3))=3/2+√3log(2-√3)/4
  • 補足

積分→計算きついけど求められるものが多い

展開図等の図形的な考え→計算楽だけど(2)のようなものは求めにくい

④円C_a,円C_b,円C_cはある三点で互いに外接する。
この時その三点を通る円の面積をS,C_aとC_bとC_cに囲まれた部分の面積をS'としてS'/Sの最大値を求めよ。

C_a,C_b,C_cの中心をそれぞれA,B,Cとして

AB=c,BC=a,CA=b,∠CAB=A,∠ABC=B,∠BCA=Cとする。

また、内接円の半径を1としても図形を相似拡大することで一般性を失わない。

S'=△ABC-(3つの円弧の面積の和)

=1/tan(A/2)+1/tan(B/2)+1/tan(C/2)-1/2*(A(1/tan(A/2))^2+B(1/tan(B/2))^2+C(1/tan(C/2))^2)

=(tan(A/2)-A/2)/tan(A/2)^2+(tan(B/2)-B/2)/tan(B/2)^2+(tan(C/2)-C/2)/tan(C/2)^2

S=πよりS'/S=S'/πなので

S'=(tan(A/2)-A/2)/tan(A/2)^2+(tan(B/2)-B/2)/tan(B/2)^2+(tan(C/2)-C/2)/tan(C/2)^2の最大値を求めればよい。

こうなると凸関数不等式が使えればいける雰囲気が出ます。

f(x)=1/tanx-x/(tanx)^2として(0<x<π/2)

f'(x)=(-1/cosx^2)/tanx^2-( (tanx)^2-x*2tanx/cosx^2)/(tanx)^4

=-1/sinx^2-(tanx-2x/cosx^2)/(tanx)^3

=2xcosx/sinx^3-cosx^2/sinx^2-1/sinx^2

=(2xcosx-sinx(1+cosx^2))/sinx^3

=(2xcosx-2sinx+sinx^3)/sinx^3

=1+2(xcosx-sinx)/sinx^3

f''(x)=2*( ( (cosx-xsinx)-cosx)sinx^3-3sinx^2cosx(xcosx-sinx))/sinx^6

=2( (-xsinx)sinx-3cosx(xcosx-sinx))/sinx^4

=2(-x-2xcosx^2+3sinxcosx)/sinx^4

=2(-x+xcosx^2-3xcosx^2+3sinxcosx)/sinx^4

=-2(xsinx^2+3cosx(xcosx-sinx))/sinx^4

ここで、g(x)=xsinx^2+3cosx(xcosx-sinx)>0を示そう。

g'(x)=sinx^2+x*2sinxcosx+3cosx(-xsinx)-3sinx(xcosx-sinx)

=4sinx^2-4xsinxcosx=4sinxcosx(tanx-x)

tanx=xを満たすxをαとして定義域内のxについてx>αでg'(x)>0,x<αでg'(x)<0より

g(x)はαで最小。でこの時g(x)=αsinα^2>0なのでg(x)>0

∴f''(x)<0が示されるため

f''(x)は下に凸のグラフである。

よって凸関数の不等式より
S'≦3((tan(π/6)-π/6))/(tan(π/6)^2=3*3*(1/√3-π/6)より

S'/S=(3√3/π-3/2)で最大。 等号成立は△ABCが正三角形の時

  • 補足
    凸関数の不等式
    f''(x)≦0⇒Σ[k=1,n]f(a_k)/n≦f(Σ[k=1,n]a_k/n)
    

もしこれがおもいつかないまたは知らない場合は

C=π-A-Bを利用して二変数関数の最大値を求める問題に帰着させますが

こちらは、相当大変。(やってません)

有名不等式は、知っておくと超簡単に解ける問題も多い。

①相加相乗②コーシーシュワルツ③並べ替え④凸関数

くらいは、覚えておくとよい。

参考サイト不等式スレまとめWiki>

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