12240011

★Σ[k=1,n](k-1)(k-2)…(k-m)=(n-1)(n-2)…(n-m)/m!
(右から左を示そうとするとわかります)

NO.11-1 階差数列

問題

175 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/10/09(金) 23:40:58.31 ID:P0P+R7Kc0
   一般項が1の数列
   a[n]=1,1,1,1,・・・
   を、「1つ目の数列」と名づける。
   2つ目の数列は、初項が1で1つ目の数列を階差に持つ数列とする。
   つまり、
   a[n]=1,2,3,4,・・・
   となる。このようにしてm個目の数列を初項が1で階差がm-1個目の数列と定義する。
   m個目の数列の一般項を
   a[m,n]
   と表記すると、
   a[m,n]=1+Σ[k=1,n-1](a[m-1,k])
   となる。
   a[m,2m]=4^(m-1)を示せ 

解答

+ ...

a_[1,n]=1

a_[2,n]=n-1+1

a_[3,n]=(n-1)(n-2)/2+(n-1)+1のように

m≧2の時

a_[m,n]=1+Σ[t=1,m-1](n-1)(n-2)…(n-t)/t!とあらわせることを示す。

Ⅰmの時の成立を仮定するとm+1の時

a_[m+1,n]=1+Σ[k=1,n-1](a[m,k])

=1+Σ[k=1,n-1]1 + Σ[t=1,m-1](Σ[k=1,n-1](k-1)(k-2)…(k-t)/t!) (←tとkのΣの逆転)

=1+n-1+Σ[t=1,m-1]( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)…(n-(t+1)))/(t+1)!

=1+n-1+Σ[t=2,m]( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)…(n-t))/t!

=1+Σ[t=1,m]( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)…(n-t))/t!よりm+1でも成立。

Ⅱm=2の時a_[2,n]=n-1+1となりm=2でも成立。

Ⅰ,Ⅱより数学的帰納法からa_[m,n]=1+Σ[t=1,m-1](n-1)(n-2)…(n-t)/t!

これよりa_[m,2m]=1+Σ[t=1,m-1](2m-1)(2m-2)…(2m-t)/t!

=1+Σ[t=1,m-1](2m-1)Ct

=Σ[t=0,m-1](2m-1)Ct

ここで、(2m-1)Ct=(2m-1)C(2m-1-t)より

Σ[t=0,m-1](2m-1)Ct=Σ[t=0,m-1](2m-1)C(2m-1-t)=Σ[t=m,2m-1](2m-1)C(2m-1-t)…①

①とΣ[t=0,2m-1](2m-1)Ct=2^(2m-1)より

Σ[t=0,m-1](2m-1)Ct=2^(2m-2)=4^(m-1)

また、m=1の時もこれを満たす。

解説

上記のとおりです。

やっぱり数列や行列とかだと式が見にくくなるのでTexを少し勉強してみます。はい。

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最終更新:2009年10月12日 17:18
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