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  • 問題.一
    D:y≧0,y≦cosx,y≦a(k)*sinx 0≦x≦π/2 の領域Dの面積がkとなるようにa(k)の式を求めよ。
    
  • 問題.二
    I_nをI_n=∫(0→π/4)(tanx)^n dxとする時、以下の問に答えよ。
    (1)I_n+I_(n+2)をnを用いて表せ
    (2)π=Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)/(2n-1)を示せ
    (3)e=2^(Σ[n=1,∞](-1)^n/n)を示せ
    
  • 問題.三
    n×nマスの正方形の盤があり、その盤の好きなところに駒を置いて以下の ①,②の動作を交互に行って、駒を動かす。
    (ただし、駒は縦横に真っ直ぐにしか動けず、また①と②のどちらから動作を始めてよい。)
    ①1マス隣へ動く
    ②2マス隣へ動く
    この時、初期条件と駒の動きを上手く設定することでn×nの全てのマスを
    一回ずつ動くことが出来るための自然数nの必要十分条件を求めよ。
    ただしn=1では動かさないが成立するとしてよい。
    
  • 問題.四
    正四面体(V_1)の各辺の中点をとり、それらの中点を結んで出来る立体をV_2とし、
    以下同様に立体V_nの各辺の中点を結んで出来る立体をV_(n+1)とする。
    この時、立体V_nは何面体になるか?
    ただし、V_nが全て凸多面体であることとオイラーの多面体定理を用いよ。
    (オイラーの多面体定理:全ての凸多面体について、(辺の数)+2=(面の数)+(頂点の数)が成り立つ)
    
  • 問題.五
    nを非負の整数とする。
    点P_nは全て単位円上に存在し、任意のnについて以下を満たす。
    ①P_0(1,0)
    ②線分P_nP_(n+1)の長さが(1/2)^n
    ③P_1は第一象限にとり、以降P_nは小弧P_(n-2)P_(n-1)に含まれないようにとる。
    この時、n→∞の時のP_nは第何象限に存在するか
    
  • 問題.六
    S[1](n)=Σ[k=1,n]1
    S[m+1](n)=Σ[k=1,n]S[m](k)として、以下の問に答えよ。
    (1)S[m](n)の一般項を求めよ。
    (2)lim(t→∞){Π[1≦k≦t]e^a*(lim(m→∞)(S_[m](m+1)/S[m](km+1))^(1/m)}が
    0以外に収束するための定数aの値を求め、その収束値を求めよ。
    

(ただし、Πは総乗を表す。例えばΠ[k=1,3]k=1*2*3=6である。)

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