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N0.15-1 正方形の分割 ~★3

問題

1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/11/10(火) 16:05:32.43 ID:o4zxNs3Q0
   これ解けるか?
   正方形ABCDがある
   辺BC,CD,DAそれぞれの中点をP,Q,R,とおく
   辺ABを三等分した点をそれぞれS,Tとおく
   正方形ABCDの内部に適当においた点Uと点P,Q,R,S,Tをそれぞれ結ぶ
   この時できる四角形の面積はそれぞれ
   ASUR=216 TBPU=324 CQUP=378 DQUR=270である
   この時、三角形STUの面積を求めよ
   文字にするとわけわかんなくなっちゃうけど
   絵にするとわかりやすいからやってみて! 

解答

+...

108

解説

上図の正方形について

正方形ABCDの一辺の大きさをxとおき

MU=xt,UO=x(1-t),NU=xs,PU=x(1-s)のように置くと

ASUR=△AUS+△ARU=sx^2/6+tx^2/4=x^2(2s+3t)/12=216…①

TBPU=△TUB+△BUP=sx^2/6+(1-t)x^2/4=x^2(3-3t+2s)/12=324…②

CQUP=△PUC+△CUQ=(1-t)x^2/4+(1-s)x^2/4=(2-t-s)x^2/4=378…③

DQUR=△DUQ+△DUR=tx^2/4+(1-s)x^2/4=(1-s+t)x^2/4=270…④

①,②,③,④の連立方程式を解けばよい。

①+②と③+④より

x^2(3+4s)=12*540…⑤

x^2(3-2s)=4*648…⑥

⑤+2*⑥より

x^2*9=12*540+8*648=24*486

x^2=8*162=2^4*3^4

∴x=36

あとは、sの値を求めればよい。

⑤より

3-2s=4*648/36^2=2

∴s=1/2

以上より

△STU=1/2*x/3*xs=36*36*1/2*1/6=108

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