解説
地球の質量をM, 物体の質量をm, 地球の中心から物体までの距離をrとする。
地表における重力の大きさは、
mg = GMm/R^2 … (1)
距離rの点における物体の速さをvとすると力学的エネルギー保存則より
-GMm/(2R) = (1/2)mv^2 - GMm/r … (2)
(1)と(2)より
v = √( (gR) * ((2R/r) - 1) ) …(3)
ここで、v=-dr/dtであるから、変数分離形として
dt = -dr / √( (gR) * ((2R/r) - 1) ) …(4) を得る。
(4)の両辺をr=2R~Rで定積分することによって、地表到達までの時間が求まる。計算においてはr=2R(cost)^2の置換を用いるとよい。
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