その他の問題

NO.1 等速直線運動の問題 ~難易度☆☆☆★★

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問題

 74 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/27(月) 21:05:10.94 ID:4KeehJ9SO

   時速60キロで走る車がブレーキをかけて止まるまで10秒かかった、この時車はブレーキをかけてから何メートル先で止まったか?
   この時車は等速直線運動をするものとする 

解答

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250/3メートル

解説

時速を秒速に直して秒速1/60キロメートルでv-tグラフに表すと丁度面積(進んだ距離)は10×1/60÷2=1/12 よって1/12キロメートルより、 1/12×1000=250/3メートル。

NO.2 空気抵抗つきの落下 ~難易度 不明

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問題

 43 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/28(金) 22:58:44.70 ID:qq5l0/gR0
   質量mの物体を、静かに手を離して自然落下させる時を考える。
   簡単のため、空気抵抗の大きさはkvで、物体に対し、上向きに働くとする。
   物体から手を離してからt秒後の速度vを求めよ。 

予想解答

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v=mg/k-e^(kt/m+log(mg/k))

解説

運動方程式を立てて m*dv/dt=mg-kv

(1/(mg-kv)) dv=1/m dt

1/(v-mg/k) dv=k/m dt ここで、両辺積分

log|v-mg/k|=kt/m+C(Cは積分定数)

ここで、t=0の時v=0より

log(mg/k)=Cで

∴log|v-mg/k|=tk/m+log(mg/k)

ここで、kvとmgについて抵抗のほうが大きくなることはないから?

mg≧kvとできて、v-mg/k<0

mg/k-v=e^(kt/m+log(mg/k))

v=mg/k-e^(kt/m+log(mg/k))

NO.3 万有引力 ~難易度 不明

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問題

45 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/28(金) 23:02:58.20 ID:4HdOtKU30
   地球を密度一様な半径Rの球体とし、地表面における重力加速度をgとします。
   地表から高さRの点から物体を自由落下させたとき、物体が地表面に着くまでにかかる時間を求めなさい。
   万有引力の法則を前提とし、空気抵抗などは無視してください。 

解答

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\left(1+\frac{\pi}{2}\right) \sqrt[]{\frac{R}{g}}

解説

地球の質量をM, 物体の質量をm, 地球の中心から物体までの距離をrとする。

地表における重力の大きさは、

mg = GMm/R^2 … (1)

距離rの点における物体の速さをvとすると力学的エネルギー保存則より

-GMm/(2R) = (1/2)mv^2 - GMm/r … (2)

(1)と(2)より

v = √( (gR) * ((2R/r) - 1) ) …(3)

ここで、v=-dr/dtであるから、変数分離形として

dt = -dr / √( (gR) * ((2R/r) - 1) ) …(4) を得る。

(4)の両辺をr=2R~Rで定積分することによって、地表到達までの時間が求まる。計算においてはr=2R(cost)^2の置換を用いるとよい。

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最終更新:2009年06月14日 12:41
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