nは4桁の自然数かつ完全平方数で、nのどの桁の数も8以下である。 nの各桁に1を加えてできる数も完全平方数になるとき、このようなnを全て求めよ。
2025
nのどの桁の数も8以下であるという条件のおかげでときやすくなってます。
n=m^2としてn+1111=(m+a)^2とする。
(m+a)^2-m^2=1111
2am+a^2=1111
a(2m+a)=101×11
よって、(2m+a,a)=(1111,1)(101,11)
これより、(a,m)=(1,555)(11,45)
しかし、m=555だとnが4桁という条件を満たさない。
よって、n=45^2=2025である。
（この時、3136=56^2となる。）
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