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NO.1　難易度☆☆★★★

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問題

nは4桁の自然数かつ完全平方数で、nのどの桁の数も8以下である。 nの各桁に1を加えてできる数も完全平方数になるとき、このようなnを全て求めよ。

解答

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2025

解説

nのどの桁の数も8以下であるという条件のおかげでときやすくなってます。

n=m^2としてn+1111=(m+a)^2とする。

(m+a)^2-m^2=1111

2am+a^2=1111

a(2m+a)=101×11

よって、(2m+a,a)=(1111,1)(101,11)

これより、(a,m)=(1,555)(11,45)

しかし、m=555だとnが4桁という条件を満たさない。

よって、n=45^2=2025である。

（この時、3136=56^2となる。）