式変形の問題

NO.2-1 式変形１～ 難易度☆☆☆☆★

問題

 25 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21:37:19.15 ID:4dQj4+CX0
   {(x^<-2>)-(y^<-2>)}/{(x^<-1>)+(y^<-1>)} 
   ↑この式を最も簡単な式で表せ。

解答

...

1/x-1/y

解説

26 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 21:39:25.57 ID:GIEa1KdF0

分母分子にx^2y^2をかければ

(y^2-x^2/(xy^2+x^2y)

=(y-x)/xy

=1/x-1/y

NO.2-2 式変形２ ～ 難易度☆☆☆☆★

問題

 35 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/29(水) 22:01:29.79 ID:4dQj4+CX0
   a^2x=5の時の
   {(a^4x) - (a^-4x)} / {(a^x) - (a^-x)}
   の値を求めよ 

解答

...

156√5/125

解説

(a^x-a^(-x))(a^3x+a^x+a^(-x)+a^(-3x))/(a^x-a^(-x))

=a^3x+a^x+a^(-x)+a^(-3x)

=a^x(a^2x+1)+a^(-3x)(a^2x+1)

=a^x(1+a^(-4x))(a^2x+1)

=(26/25)×6/√5

=156√5/125

NO.2-3　式変形3　～　難易度☆☆☆★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/10(火) 19:41:48.38 ID:OWnkUlnbP
   a+b+c=0
   abc≠0のとき
    a{(1/b)+(1/c)}+b{(1/c)+(1/a)}+c{(1/a)+(1/b)}を求めよ

解答

...

　-3

解説

分母をそろえるのが常識です。

=(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))/abc

条件よりa+b=-cのようにして変換します。

=(-a^3-b^3+c^2(a+b))/abc

=(-(a+b)(a^2+b^2-ab)+c^2(a+b))/abc　←(三乗の因数分解の公式)

=(a+b)(a^2+b^2-ab-c^2)/abc

ここでc=-(a+b)より

=-c(a^2+b^2-ab-(a+b)^2)/abc

=-3abc/abc

=-3

補足

定数値が出た時は、条件に合う(a,b,c)の値を適当に定めて代入して確認。

a=1,b=1,c=-2とすると

a{(1/b)+(1/c)}+b{(1/c)+(1/a)}+c{(1/a)+(1/b)}

=1/2+1/2-4=-3

で間違いないことが確認できます。

NO.2-4　式変形4　～難易度☆☆☆★★

問題(改題)

ab+bc+ca=0
abc≠0の時
 a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)の値を求めよ。

解答

...

• 3

解説

基本的な所は2-3と変わってません。（＊）

分母を揃えて

(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b))/abc

ここで(a+b)c=-abより

(-abc-abc-abc)/abc

=-3

(＊)については

2-3の式をa=b'c',b=c'a',c=a'b'のように置き換えれば明らかです。

NO.2-5　三次方程式の解と係数の条件と式変形　～難易度☆☆★★★

問題

347 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/03/03(火) 01:54:43.15 ID:vDALqt+20
   a,b,cを３次方程式
   x^3-x+1=0
   の３つの解とする
   このとき
   1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)
   の値を求めよ 

解答

...

　-2

解説

解と係数の関係より

a+b+c=0,ab+bc+ca=-1,abc=-1・・・(＊)

1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)＝((a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)/(a+1)(b+1)(c+1)

=(ab+bc+ca+2(a+b+c)+3)/(abc+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+1)

=(-1+3)/(-1-1+1)

=-2

(＊)解と係数の関係 x^3+αx^2+βx+γ=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abcより

α=-(a+b+c),β=ab+bc+ca,γ=-abcとなる。