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(1)(a)(m,n)=(2,2) (b)(m,n)=(1,1)
(2)1,2
解説
(1)(a)m/n^2+n/m^2=kとおき、これはm,nの対称式なのでnを素数としても一般性を失わない。(kは自然数)
両辺にn^2m^2をかけて
m^3+n^3=n^2m^2k
m^2(kn^2-m)=n^3
この式より、nが素数よりm^2がとりうる値は1かn^2のみ。
m^2=1の時k=n+1/n^2より、1/n^2が整数であればよいがn=1で不適。
m^2=n^2の時k=2/nより、n=m=2の時にこれを満たす。
∴(n,m)=(2,2) (k=1)
(1)(b)
(a)と同様にm^3+n^3=n^2m^2kの形にする。(ただし、この時問題文の条件よりkは素数)
(m+n)(m^2-mn+n^2)=n^2m^2k
(ⅰ)m+n=kの時
m^2-mn+n^2=n^2m^2より
(n^2-1)(m^2-1)+mn-1=0と変形できm,nのいずれかが2以上の時は
(n^2-1)(m^2-1)+mn-1＞2*1-1＞0となるため不適でこの時m=n=1のみがこれを満たす。
その時m+n=2で素数。1/1+1/1=2で素数より成立。
(ⅱ)m+n≠kの時
m+nとkは互いに異なる素数より互いに素であるので
n^2m^2=(m+n)l(lは自然数)とおける必要があるが
m+n＞n,mでm+nが素数よりn,mはm+nを因数に持たないためn^2m^2は(m+n)を因数に持たず不適。
∴(n,m)=(1,1) (k=2)
(2)これは、ちょっと難しいめ
m/n^2または、n/m^2のいずれかが1より大きい時について考える。
m/n^2＞1の時m＞n^2であるから
n/m^2＜1/n^3となる。
1/n^2＞1/n^3より
(m+1)/n^2＞m/n^2+n/m^2＞m/n^2であるが、この時
分子が整数値で分母が整数値をとらないためこれが整数値をとることはない。
以上よりm/n^2,n/m^2≦1であるから
1≦m/n^2+n/m^2≦2が示される。
また、(1)よりm/n^2+n/m^2=1,2のいずれもこれを満たす(m,n)が存在するので十分性も示される。
以上よりm/n^2+n/m^2=1,2
別解
m/n^2+n/m^2=k
m^3+n^3=n^2m^2k
ここで、m≠nを仮定する。
m=LM,n=LN(L,M,Nは自然数でM,Nは互いに素)のようにおくと
M^3+N^3=LN^2M^2k
M^3=(LM^2k-N)N^2
MとNは互いに素であるため左辺にNの因数を持たないため等号はなりたたないため矛盾。
∴m=n
この時k=2/nよりn=2,1のみがこれを満たし、この時k=1,2で成立する。
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