12110003


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NO.3-1 分数の整数問題 ~難易度☆☆☆★★

問題

 63 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/30(木) 23:33:31.85 ID:khRNV4zVO
   >>61
   (1/x)+(1/y)+(1/z)=2
   x y zは自然数
   ほい

解答

+...

(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)

解説

x≦y≦zとしても一般性を失わない。

x=y=z=2の時3/2<2なので不適。

よってx=1である。

1/y+1/z=1

(y-1)(z-1)=1

よって、y=2,z=2

これより(1,2,2)に限る。

最後にこれを並び替えて

(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)が答え

NO.3-2 分数の整数問題2 ~難易度☆☆★★★

問題

 96 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/17(月) 20:39:19.42 ID:kZRAdBEm0
   自然数(a,b)はa<bかつ1/a+1/b<1/4である
   (a,b)の組み合わせのうちbが最小であるものを求めよ 

解答

+...

(a,b)=(8,9)

解説

1/a+1/b<1/4からa>4,b>4である。

b=5の時a=4となり不適。

b=mとするとa=(m-1)の時に1/a+1/bが最小となるため

4(2m-1)<m(m-1)

m^2-9m+4>0

m>(9+√65)/2

m>9+8/2

∴m=9

b=9,a=aとして1/a<5/36から36<5aより9>a≧8となるためa=8のみ。

よって(a,b)=(8,9)

NO.3-3 分数の整数問題3 ~難易度☆☆★★★

問題(オリジナル)

n,mは自然数である。
(1)(a)n,mのいずれかが素数である時、m/n^2+n/m^2が整数となるためのm,nの条件を求めよ。
  (b)m+nが素数の時、m/n^2+n/m^2が素数となるためのm,nの条件を求めよ。
(2)m/n^2+n/m^2がとりうる整数値を全て求めよ。

解答

+...

(1)(a)(m,n)=(2,2) (b)(m,n)=(1,1)

(2)1,2

解説

(1)(a)m/n^2+n/m^2=kとおき、これはm,nの対称式なのでnを素数としても一般性を失わない。(kは自然数)

両辺にn^2m^2をかけて

m^3+n^3=n^2m^2k

m^2(kn^2-m)=n^3

この式より、nが素数よりm^2がとりうる値は1かn^2のみ。

m^2=1の時k=n+1/n^2より、1/n^2が整数であればよいがn=1で不適。

m^2=n^2の時k=2/nより、n=m=2の時にこれを満たす。

∴(n,m)=(2,2)  (k=1)

(1)(b)

(a)と同様にm^3+n^3=n^2m^2kの形にする。(ただし、この時問題文の条件よりkは素数)

(m+n)(m^2-mn+n^2)=n^2m^2k

(ⅰ)m+n=kの時

m^2-mn+n^2=n^2m^2より

(n^2-1)(m^2-1)+mn-1=0と変形できm,nのいずれかが2以上の時は

(n^2-1)(m^2-1)+mn-1>2*1-1>0となるため不適でこの時m=n=1のみがこれを満たす。

その時m+n=2で素数。1/1+1/1=2で素数より成立。

(ⅱ)m+n≠kの時

m+nとkは互いに異なる素数より互いに素であるので

n^2m^2=(m+n)l(lは自然数)とおける必要があるが

m+n>n,mでm+nが素数よりn,mはm+nを因数に持たないためn^2m^2は(m+n)を因数に持たず不適。

∴(n,m)=(1,1) (k=2)

(2)これは、ちょっと難しいめ

m/n^2または、n/m^2のいずれかが1より大きい時について考える。

m/n^2>1の時m>n^2であるから

n/m^2<1/n^3となる。

1/n^2>1/n^3より

(m+1)/n^2>m/n^2+n/m^2>m/n^2であるが、この時

分子が整数値で分母が整数値をとらないためこれが整数値をとることはない。

以上よりm/n^2,n/m^2≦1であるから

1≦m/n^2+n/m^2≦2が示される。

また、(1)よりm/n^2+n/m^2=1,2のいずれもこれを満たす(m,n)が存在するので十分性も示される。

以上よりm/n^2+n/m^2=1,2

別解

m/n^2+n/m^2=k

m^3+n^3=n^2m^2k

ここで、m≠nを仮定する。

m=LM,n=LN(L,M,Nは自然数でM,Nは互いに素)のようにおくと

M^3+N^3=LN^2M^2k

M^3=(LM^2k-N)N^2

MとNは互いに素であるため左辺にNの因数を持たないため等号はなりたたないため矛盾。

∴m=n

この時k=2/nよりn=2,1のみがこれを満たし、この時k=1,2で成立する。

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