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NO.1-1 傍接円と面積 ~難易度☆★★★★

問題

 54 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 21:54:00.65 ID:Boluhyw10

   △ABCの面積が2^2n
   傍接円の半径が2^nと2^(n-1)があることがわかっている。
   この時のもうひとつの傍接円の半径を決定せよ。 

予想解答

+...

(3+√(9+2^(n+1)))/2^n

予想解説

必要な公式:ヘロンの公式 辺の長さがa,b,cの三角形の面積Sは、S=√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/4で表される。

また、内接円の半径が2S/(a+b+c)であることからそれぞれの傍接円の半径を求めよう。

図の△AKJと△ALEの相似比が、傍接円の半径(LE)と内接円の半径(KJ)の比であることがわかる。

ここで、AB=c,BC=a,CA=bとする。(Cは、図には見えないが内側の三角形の一点としておく。)

すると、AK=(c+b-a)/2,AL=(a+b+c)/2である。ここの解説は、後ほど・・・。

内接円の半径をI,傍接円の半径をI[a],I[b],I[c]とすると

I:Ia=(c+b-a):a+b+c

I=2S/(a+b+c)を代入して計算することで、I[a]=2S/(-a+b+c)となる。

同様にして、I[b]=2S/(a-b+c),I[c]=2S/(a+b-c)。 一度ここで、値をまとめると…

a+b+c=2S/I・・・①

  • a+b+c=2S/I[a]・・・②

a-b+c=2S/I[b]・・・③

a+b-c=2S/I[c]・・・④

これをヘロンの公式にあてはめて計算すると…

S=√(2S)^4/I・I[a]・I[b]・I[c]/4=S^2√(1/(I・I[a]・I[b]・I[c]))

S(S√(1/(I・I[a]・I[b]・I[c]))-1)=0

よってS=√I・I[a]・I[b]・I[c]⑤

さらに①=②+③+④から、1/I=1/I[a]+1/I[b]+1/I[c]より、I=(I[a]・I[b]・I[c])/(I[a]・I[b]+I[b]・I[c]+I[c]・I[a])⑥

⑤に⑥を代入して、

S=I[a]・I[b]・I[c]√1/(I[a]・I[b]+I[b]・I[c]+I[c]・I[a])

一般性は、失わないのでI[b]=2^n,I[c]=2^(n-1),S=2^2nを代入。

2^2n=I[a]・2^(3n-1)√1/(I[a](2^n+2^(n-1))+2^(2n-1))

I[a]^2・2^(2n-2)-I[a](2^n+2^(n-1))-2^(2n-1)=0

I[a]^2・2^(n-1)-3I[a]-2^n=0

I[a]=(3+-√(9+2^(n+1)))/2^n。 I[a]>0より

I[a]=(3+√(9+2^(n+1)))/2^n

である。

N0.1-2 整数問題との融合問題 ~難易度☆★★★★

問題

 48 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/29(水) 23:00:01.66 ID:GIEa1KdF0
   ある三角形ABCについての
   内接円の半径が2であった。
   この時、傍接円の半径も全て整数である場合の三つの整数組を全て求めよ。 

解答

+...

(4,5,20)(4,6,12)(4,8,8)(5,5,10)(6,6,6)

解説

上で導きだした式を利用しますが、整数問題の力が必要になります。

1/I=1/I[a]+1/I[b]+1/I[c]にI=2を代入(面倒だから以降I[a]=aのように表記する。)

1/2=1/a+1/b+1/c

a≦b≦cとしても一般性を失わないのでそう定めると

1/2≦1/a+1/a+1/a=3/aより、a≦6

また、a,b,cは正なので3<aであるから4≦a≦6。

(1)a=4の時 1/4=1/b+1/cから(b-4)(c-4)=16から(b,c)=(5,20)(6,12)(8,8)

(2)a=5の時 3/10=1/b+1/cから(3b-10)(3c-10)=100から(b,c)=(5,10)

(3)a=6の時 1/3=1/b+1/cから(b-3)(c-3)=9から(b,c)=(6,6) これより、(a,b,c)=(4,5,20)(4,6,12)(4,8,8)(5,5,10)(6,6,6)

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