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NO.1-1　無限に続くものの期待値 ～難易度☆★★★★

問題

1：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/25(土) 23:55:47.07 ID:t8BCPbs40
   1回使うと1/2の確率で壊れる目覚まし時計があります
   さて、この目覚まし時計を使える回数の期待値を求めよ 

...

解答

2回

解説

k回目まで使える確率は、1/2^kとあらわせる。 よって期待値は、Σ(k=1,n)k/2^kであらわされる。（n→∞）

それをSnとして、

Sn+1-Sn=(n+1)/2^(n+1)

Sn+1(2^(n+1))-2・Sn(2^n)=n+1

Sn・2^n=Pnとすると

Pn+1-2・Pn=n+1

(Pn+1+(n+1)+2)=2(Pn+(n)+2)

ここでP1+3=2/2+3=4から

Pn+(n+2)=2^(n+1)

Sn・2^n+(n+2)=2^(n+1)

Sn=2-(n+2)/2^n

lim(n→∞)(2-(n+2)/2^n)=2

よって2。

NO.1-2　男女比

問題

219 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/07/05(日) 20:18:36.65 ID:hQxgDgG00
   ある国で次のような法律が作られました
   「全ての夫婦は必ず一人のみの男児を作り、跡継ぎとしなければならない」
   つまり男の子が生まれた場合はそれ以上子供を作ることを許されず
   逆に女の子が生まれた場合は男の子が生まれるまで子作りを続けなければならない
   ということです。
   さらに次の条件があります。
   １．男女の生まれる確率はそれぞれ1/2
   ２．双子、三つ子などは生まれない
   ３．生物学的限界は考慮しない（男児が生まれるまで無限に子作りができる）
   ４．生まれた子が死亡すること、国外に移動することはここでは考慮しない
   （解答時に適宜条件を追加してください）
   以上の条件の下で、十分な時間が経過したとき、
   この国の人口の男女比はいくらになるでしょうか。

解答※誤り

...

男:女=1:2

解説※誤り

NO.1-1とほぼ同じように考える問題

つまり、k回女が生まれる確率は(1/2)^kより女の生まれる数の期待値は

Σ[k=1,∞]k/2^kでこれは、NO.1-1より2人であるから

男1人に対して女2人が期待値。

∴男:女=1:2

※誤り