12230003


※上記の広告は60日以上更新のないWIKIに表示されています。更新することで広告が下部へ移動します。

NO.12230003 二項定理の証明~難易度☆☆★★★

問題

 1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 10:59:42.25 ID:Boluhyw10
   問題
   二項定理を用いずにΣ(k=0,n)nCkを求めよ。 

解答

+...

13 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 11:24:59.63 ID:Boluhyw10  >>12正解。 一応用意した解答を載せておく k+1Cn+1-kCn+1=kCnとなることを利用する。 これより、Σ(k=n,t)(kCn)=k+1Cn+1となる。 また、Σ(K=0,n)nCk=Snとすると以下の図のように表すことができる。

0C0 1C0 2C0 3C0 4C0 …… nC0 =n+1C1

   1C1 2C1 3C1 4C1 …… nC1 =n+1C2

      2C2 3C2 4C3 …… nC2 =n+1C3

                    ・ =n+1C4

                    ・ =

                     ・ =

↓  ↓ ↓

S0+S1+S2+・・・・・・・・・・・・・+Sn=Sn+1-1・・・①

同様にして

S0+S1+S2+・・・・・・・・・・・・・・+Sn-1=Sn-1・・・②

①-②して、Sn=Sn+1-Sn, S0=1,Sn+1=2Snより、Snは公比2,初項1の等比数列。よってSn=2^n

別解

12 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/26(日) 11:12:58.35 ID:HwHqwnqd0 n個の要素をAとB2つのグループに分けることを考える

その分け方は、要素それぞれに対してAとBの2通りのグループがあるので2^n乗通り

次に、Aにk個、Bにnーk個となるように分ける場合を考える。

この場合、その分け方はn個からAに属するk個を選ぶのでnCk通り

これをk=0~nの場合について逐一計算し、それらを足せばAとBへの分け方が得られる

以上より、Σ(k=0,n)nCk=2^n

解説

他にも、いろいろな解き方がありそうで面白そうだったので載せておきました。

ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。