12210002

NO.2-1　正三角形 ～難易度☆★★★★

問題

 60 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/30(木) 　　23:22:45.76 ID:GYodBiaLP
   別の問題
   正三角形ABCの内部に点Pをとったところ
   AP=3、BP=4、CP=5であった
   三角形ABCの面積を求めよ 

解答

...

9+(25√3/4)

解説

普通にやるととっつきにくいですが・・・

imageプラグインエラー : 画像を取得できませんでした。しばらく時間を置いてから再度お試しください。

この図のように点Ｐと対称な点をとってみます。（図はABCが見た目違うけど勘弁。。。。）

すると、AP=AF=AG=3,BP=BG=BH=4,CP=CF=CH=5がわかります。

また、∠BAC=∠PAC+∠BAP=60°

∠PAC=∠PAF,∠PAB=∠BAGなので∠GAF=120°とわかります。

同様にして、∠GBH=∠HCF=120°もわかります。これより、

GF=3√3,GH=4√3,HF=5√3から△GFHは3:4:5の直角三角形。

よって面積は、三つの二等辺三角形と直角三角形の面積の和を半分にした面積と等しい。

1/2×(√3(3^2+4^2+5^2)/4+4√3×3√3÷2)

=1/2(25√3/2+18)

=9+(25√3/4)

NO.2-2　正三角形 ～難易度☆☆★★★

問題

 86 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 02:01:22.35 ID:NYLQrUAf0
   点B,D,Cを円Ａ上にとり、線分BDは円Aの中心点Aを通る。
   また、BCを一辺とした点Ａを含まない正三角形BCEと、同様にCDを一辺とした点Ａを含まない正三角形CDFを作図する。
   更に点Aを含むように正三角形EFGを作図する。
   (1)点Ｇは円A上にあることを示せ。
   (2)円Aの半径が1,∠BCD=30度の時の△EFGの面積を求めよ。

解答

...

(1)⇔∠BGD=90°でこれを示す。 また、△EBG≡△ECF≡△GDFをしめす。 △EBGと△ECFは、EB=EC,EF=EG,∠BEG=∠CEFより合同よりBG=CF=CD。…① △GDFと△ECFは、GF=EF,DF=CF,∠GFD=EFCより合同よりGD=EC=BC。…② ①②とBD共通より△BCD≡△DGBなので∠BCD=∠DGB=90°。 これにより、示された。 (2)7√3/4

解説

(2) △EFG=√3/4×EF^2=√3/4×(EC^2+CF^2-2cos150°×EC×CF)=√3/4×(3+1+3)=7√3/4