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NO.3-1 三角形と円 ~難易度☆☆☆★★

問題

 37 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/10/30(木) 22:48:08.88   ID:nWshNj6H0
   正三角形ABCの辺BC上に点DをBD:DC=1:2となるように取り、ADを直径とする円をかく。
   この円と辺BCとの交点でD以外のものをE、またこの円と辺ABの交点をFとする。
   AE=1のとき、次の問いに答えよ。
   (ⅰ)正三角形ABCの1辺の長さを求めよ。
   (ⅱ)FDの長さを求めよ。 

解答

+...

(ⅰ)2/√3

(ⅱ)1/3

解説

(1)ADは円Uの直径なので∠AED=90°

これより、AEは点Aを通るBCの垂線だからBCの垂直二等分線で△BEAについて

BA:AE=2:√3よりBA=2/√3。

(2)BD:DC=1:2とBE:EC=1:1からBD:DE=2:1、BE:AE=1:√3よりBD=2/3√3。

FD:BD=√3:2より

FD=1/3

NO.3-2 難易度☆☆☆★★

問題

   正三角形ABCの辺BC上に点DをBD:DC=1:2となるように取り、ADを直径とする円をかく。
   この円と辺BCとの交点でD以外のものをE、またこの円と辺ABの交点をFとする。
   AE=1のとき、次の問いに答えよ。
   (ⅲ)この円と辺CAとの交点を点Gとした時のFGの長さを求めよ。

解答

+...

√7/3

解説

円の中心をUとして、円周角の定理より、∠FUG=2∠BAC=120°

円の半径は、AF=1とDF=BF×1/3=1/3√3からAD=√(1+1/27)=2√7/3√3となり√7/3√3とわかる。

△UFGは、二等辺三角形で∠FUG=120°だからUF:FG=1:√3なので

FG=√7/3√3×√3=√7/3

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