12111005

NO.9-1　相加相乗と組み合わせ ～難易度☆☆★★★

問題

 1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/05(水) 21:06:05.54 ID:HcPCmWEH0
   n≧2の時、
   1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)
   が成立することを証明せよ 

解答

...

相加相乗平均よりn≧2では、等号成立はしないから

2^n=nC0+nC1+……+nCn＞(n+1)×(nC0・nC1・…・nCn)^(1/n+1)

2^n^(n+1)＞(n+1)^(n+1)×(n!^(n+1)/(0!・1!・…・n!)^2)

(0!・1!・…n!)^2＞(n・n!/2^n)^(n+1)

1!・2!・…n!＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)

1!・2!・…・n!=1^n×2^(n-1)×…×n^1となるため示された。

解説

気づくのが、難しいです。てかひどい。 基本的に和≧積の式を示す相加相乗が積≧べき乗の式を示しています。

NO.9-2　相加相乗と順列 ～難易度☆☆★★★

問題

 11 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/05(水) 21:23:07.68 ID:HcPCmWEH0
   じゃあ、別の問題
   1を1回かける2を二回かける3を三回かける・・・・nをn回かけるってやってできた数をf(n)とする。
   この時
   f(n)＜(e・n!/(n+1))^(n+1)となることをいえ（eは自然定数の底） 

解答

...

e＞1+1/1!+1/2!+1/3!……1/n!＞1/1!+1/2!+1/3!+…+1/n!となることを利用します。（テイラー展開）

上より

f(n)＜(nP0+nP1+nP2…+nPn/(n+1))^n+1を示せばいいことが分かりました。ここまでくれば、後は

nP0×nP1×nP2×…nPn=1^1×2^2×…n^nとなることから

f(n)^(1/(n+1))・(n+1)＜nP0+nP1+nP2…+nPnが示され、

f(n)＜(nP0+nP1+nP2…+nPn/(n+1))^n+1より

f(n)＜(nP0+nP1+nP2…+nPn/(n+1))^n+1＜(e・n!/(n+1))^(n+1)

解説

相加相乗を使って面倒な不等式の証明をするのは、応用があまり利かないと思いますが…こういうのもあるということで。。 相加相乗って右辺が文字じゃだめなんじゃ…？って思うかもしれませんが、この場合のnは定数なので大丈夫です。(多分…)

NO.9-3　相加相乗の応用編 難易度～☆☆★★★

問題

 f(x)=x/(4x^3+x+1)の最大値を求めよ。(x＞0)

解答

...

1/4

解説

x＞0よりf(x)>0なのでf(x)=x/(4x^3+x+1)が最大値をとるときのx

⇔1/f(x)=(4x^3+x+1)/xが最小値をとるときのx

1/f(x)=4x^2+1+1/x=4x^2+1/2x+1/2x+1≧3+1=4

よって,f(x)≦1/4。また等号成立は4x^2=1/2x x^3=1/8から x=1/2

補足

• 分母の次数の方が大きい場合は逆数をとるといいです。

• x^2+1/xのような場合は、x^2+1/2x+1/2xとして右辺に変数が残らないようにして相加相乗を使います。

NO.9-4　相加相乗で証明 難易度～☆☆☆★★

問題

271 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 23:44:28.12 ID:XAv7izQm0
   nを正の整数とする。正の実数x,y,zに対する方程式
   x^n+y^n+z^n=xyz　を考える
   n=3のときこの方程式を満たすx,y,zは存在しないことを示せ。

解答

...

相加相乗平均より

x^3+y^3+z^3≧3*(x^3*y^3*z^3)^(1/3)=3xyz＞xyz

よって示された。

解説

相加相乗平均を使えば

このようにしてあっさりと解答を終えることも可能です。