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NO.4-1 五心 ~難易度★★★★★

問題

 101 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/10(月) 21:58:07.22 ID:VOeQFfO10
   問題
   三角形APBの外心を点O、内心を点I、垂心を点Hとなるようにとる。
   ∠APB=60°∠HIO=160°の時、∠PABを求めよ。 

解答

+...

40°,80°

解説

A,O,I,H,Bが同一円周上にあることを示します。

∠AOB=2×60°=120°

∠AIB=(180-(180-60)/2)°=120°

∠AHB=30+30+60=120°

これは、調べることによって判明しますので、∠AOB=∠AIB=∠AHB=120°となる。

また、AM=OM=BMから、A,Bを通る円M上にO,I,Hがあることがわかる。・・・①

円Oと円Mの半径は、等しくOM//PHであるため円Oは円Mを平行移動した図形と考えることでOM=PH。

また、OM=MHより四角形OMHPはひし形であるからOH⊥MP。 MPとOHの交点を点Nとすると、上の条件から△OIN≡△HIN。よって∠IOH=∠IHO・・・②

②より、∠OMH=2×2×(180-160)/2=40°・・・③

また、内接四角形の定理より∠OMB=(180-60)/2=60°・・・④

④-③=∠BMH=20°・・・⑤

円周角の定理より∠PAB=∠PMB=∠IMB=60-(40/2)=40°

また、図と反対向きに同じ条件を満たす合同な三角形が作れるため

∠PAB=180-40-60=80°

よって、∠PAB=40°,80°

この問題では、特別な場合を扱ってますが∠APB=60°ならば∠HIOは120°より大きく180°未満の任意の角についての ∠PABを求めることができます

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