40°,80°
解説
A,O,I,H,Bが同一円周上にあることを示します。
∠AOB=2×60°=120°
∠AIB=(180-(180-60)/2)°=120°
∠AHB=30+30+60=120°
これは、調べることによって判明しますので、∠AOB=∠AIB=∠AHB=120°となる。
また、AM=OM=BMから、A,Bを通る円M上にO,I,Hがあることがわかる。・・・①
円Oと円Mの半径は、等しくOM//PHであるため円Oは円Mを平行移動した図形と考えることでOM=PH。
また、OM=MHより四角形OMHPはひし形であるからOH⊥MP。
MPとOHの交点を点Nとすると、上の条件から△OIN≡△HIN。よって∠IOH=∠IHO・・・②
②より、∠OMH=2×2×(180-160)/2=40°・・・③
また、内接四角形の定理より∠OMB=(180-60)/2=60°・・・④
④-③=∠BMH=20°・・・⑤
円周角の定理より∠PAB=∠PMB=∠IMB=60-(40/2)=40°
また、図と反対向きに同じ条件を満たす合同な三角形が作れるため
∠PAB=180-40-60=80°
よって、∠PAB=40°,80°
この問題では、特別な場合を扱ってますが∠APB=60°ならば∠HIOは120°より大きく180°未満の任意の角についての
∠PABを求めることができます
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