N0.6-1 一定区間内の任意の三点 難易度～☆☆★★★
問題
20 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/28(金) 22:14:52.80 ID:qq5l0/gR0
nを自然数とし、座標平面上でx座標、y座標がともに0以上n以下の整数である点を3頂点にもつ三角形の面積をSとする。
Sは何種類の値をとりうるか。
解答
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+
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... |
n^2種類
解説
1/2≦S≦n^2/2であることは容易に分かる。
それぞれの三点を
A(a,b)B(c,d)C(e,f)とすると(a<c<e)
直線ACはy=(f-b)/(e-a)×(x-a)+b
でx座標がcの時のACのy座標はy=(f-b)/(e-a)×(c-a)+b(ただし、これをd未満とする。)
S=1/2×(e-a)×(d-(f-b)/(e-a)×(c-a)+b)
=( (d+b)(e-a)-(f-b)(c-a))/2
(d+b)(e-a)-(f-b)(c-a)は整数で1/2≦S≦n^2/2であるから
1≦(d+b)(e-a)-(f-b)(c-a)≦n^2
また、a,b,c,d,e,fを任意に定めると全ての整数値をとるので
n^2-1+1=n^2通り。
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補足
(d+b)(e-a)-(f-b)(c-a)は、a,bに対してd,e,f,cを任意に定められるので(d+b),(e-a),(f-b),(c-a)は2n^2以下の整数をあらわる。
また、これにより(d+b)(e-a)と(f-b)(c-a)も2n^2以下の整数を表せるので(d+b)(e-a)-(f-b)(c-a)が1以上n^2以下の整数を全て表せる。
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NO.6-2 パズル的問題 難易度☆☆★★★
問題
nは4桁の自然数かつ完全平方数で、nのどの桁の数も8以下である。
nの各桁に1を加えてできる数も完全平方数になるとき、このようなnを全て求めよ。
解答
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+
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... |
2025
解説
nのどの桁の数も8以下であるという条件のおかげでときやすくなってます。
n=m^2としてn+1111=(m+a)^2とする。
(m+a)^2-m^2=1111
2am+a^2=1111
a(2m+a)=101×11
よって、(2m+a,a)=(1111,1)(101,11)
これより、(a,m)=(1,555)(11,45)
しかし、m=555だとnが4桁という条件を満たさない。
よって、n=45^2=2025である。
（この時、3136=56^2となる。）
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NO.6-3 平方完成を利用 ～難易度☆☆☆★★
問題
12 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/18(水) 22:29:33.94 ID:KDIwLlOM0
方程式
x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0
を満たす正の整数の組(x,y,z)を全て求めよ。
解答
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+
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... |
(x,y,z)=(3,1,2),(3,2,1)
解説
xは奇数である。
x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=x^2-2(y+z)x+2y^2+2z^2+2yz-5
=(x-(y+z))^2+y^2+z^2-5=0
(x-(y+z))^2+y^2+z^2=5
y≧3だとy^2=9で左辺＞右辺となるからy=1,2(zも同様)
y=1,z=1の時
(x-2)^2=3でこれを満たす整数xは存在しない。
y=2,z=2の時は左辺≧右辺で不適。
y=1,z=2の時
(x-3)^2=0を満たすのはx=3。
y=2,z=1の時も同様。
∴(x,y,z)=(3,1,2),(3,2,1)
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NO.6-4 約数の個数の偶奇 ～★３
問題
42 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/12/20(日) 17:15:14.62 ID:8VLjFujs0
俺が受験後に出会った
大学受験レベルで面白かった問題は
1から200までの整数を表に書いたカードが並べられていて
1の倍数のカードをひっくり返す。
2の倍数の…。
…。
nの倍数の…。
…。
200の倍数のカードをひっくり返した時に、表向きになってるカードの枚数を調べる問題かな
解答
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+
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... |
186枚
解説
約数は普通偶数個
6のカードは1,2,3,6で偶数回裏返るので表向き
つまり、約数がでた時に裏返る。
ここで、約数は普通偶数個であることは6=1*6=2*3のように対応関係があることから分かる。
逆にこのような対応関係が崩れるのは同じ数同士を掛け合わせる時、つまりn^2=n*nのような場合のみ。
だから、9=1*9=3*3であるが約数は1,3,9の3つで奇数個。
纏めると、約数が偶数個⇔平方数でない自然数 約数が奇数個⇔平方数の自然数
以上より平方数を除けばよい。
1～200に平方数は14^2=196,15^2=225であるから14個存在。
∴200-14=186
∴186枚
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最終更新：2009年12月20日 17:34
