12230005

NO.5-1 同じ色の碁石の問題 ～難易度☆☆★★★

問題

 68 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 01:39:46.59 ID:6W9Gleec0
   白の碁石が9個ある。これを組を区別せずに、どの組も4個以下となるように
   3組に分ける方法は（ア）通りある。またA,B,Cの3人に、一人当たり4個以下
   となるように分ける方法はイウ通りある
   9個の白の碁石をA,B,Cの3人に分ける。全員少なくとも1個はもらえるような
   分け方はエオ通りで、一つももらえない人がいてもよいとするとカキ通りに
   なる。
   赤球4個,青玉4個,黄玉1個と黒の碁石2個の合計11個を一列に並べる。
   玉が続けて5個以上現れない並べ方はイウ×クケコ通りある。

解答

...

(ア)=3　(イウ)=10　(エオ)=28　(カキ)=55

解説

(ア)は数え上げが楽。(4,4,1)(4,3,2)(3,3,3)の三通りだから(ア)=3

(イウ)はアを並び替えて3+6+1=10通りだから(イウ)=10

(エオ)は重複組合せで9個の碁石に2個のしきりで分けると考えて8C2=56/2=28

(カキ)は9個の碁石と2個のしきりを一緒に混ぜるように考えて11C2=55通り

？(イウ×クケコ)は11箇所のますに順番に入れてった

11C4×7C4×3C1×2C2通りから青玉と黄玉の組を一つとした5×7C4×3C1×2C2通りを引きます。全体から引く方法です。

(11C4-5)(7C4×3C1)=(330-5)×105=325×105=32500+1625=34125通り？

別解

(カキ)28通りにいずれかが0の場合の8×3+3通りを足して28+27=55通り

NO.5-2 カードの問題 ～難易度☆☆☆☆★

問題

 57 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 01:13:36.17 ID:6W9Gleec0
   1から4までの番号札が2枚ずつ、合計8枚ある。この中から無作為に1枚ずつ
   計2枚取り出すとき
   （1枚目の数字）＞（二枚目の数字）である確率を求めよ 

解答

...

3/7

解説

一枚目の数字によって場合分けするのが多分一番楽

1/4×0+1/4×2/7+1/4×4/7+1/4×6/7=(2+4+6)/28=3/7

NO.5-3 ナンバリング ～難易度☆☆☆★★

問題

 61 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 01:22:53.46 ID:6W9Gleec0
   8枚のカードに1から8までの数字が1つずつ書いてある。
   （1）、この8枚のカードから2枚同時に抜き出した時
   和が3の倍数である確率を求めよ
   （2）、この8枚のカードから3枚同時に抜き出した時
   和が3の倍数である確率を求めよ 

解答

...

5/14

解説

(1)は数え上げでもできますが、(2)に繋げるために別の方法でやります。

和が3の倍数になる条件を求めるのでそのカードの数字の余りでカードを分けます。

(a)=(1,4,7)　(b)=(2,5,8)　(c)=(3,6)

この方法で(1)を解いてみます。

(1)の条件を満たすのは(a)+(b)と(c)+(c)の場合のみで(3×3+1)/8C2=10/28=5/14

同様にして(2)も解きます。

(a)+(b)+(c),(a)+(a)+(a),(b)+(b)+(b)の場合のみで(1+1+3×3×2)/8C3=20/56=5/14

NO.5-4 サイコロ ～難易度☆☆☆★★

問題

 88 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 02:02:10.36 ID:6W9Gleec0
   2個のさいころを振って出た目の積について、一の位の数がｎである確率を
   考える。これはｎ=5のときア/イウ,ｎ=8のときエ/オ,ｎ=カのとき0である。
   3個のさいころを振って出た目の数の積が24となる確率はキ/ｸｹである。
   また、3で割り切れる確率はコサ/シスである。
   4個のさいころを振って出た目の数の積が素数となる確率はセ/ソタリである。
   また、4で割り切れる確率はツテ/トナである。

解答

...

(ア/イウ)5/36 (エ/オ)1/9 (カ)7 (キ/クケ)5/72 (コサ/シス)19/27 (セ/ソタリ)1/108 (ツテ/トナ)37/48

解説

サイコロの問題は、区別して考えたほうが楽。

(ア/イウ)は、5と奇数の場合に限られる。つまり(5,3)(5,1)(5,5)のみなので5/36

(エ/オ)は、8=2×4,18=6×3の場合のみだから4/36=1/9

(カ)が7であることは容易に分かる(n=1～6は明らかに0でなくn=9は3×3があるから)

(キ/クケ)は、24=2^3×3から24=6×4×1=6×2×2=4×3×2の場合のみだから(6+3+6)/216=15/216=5/72

(コサ/シス)は、3か6が出ることと同じであるので余事象を使って解きます。1245の四つしか出ない場合を引きます。(216-64)/216=19/27

(セ/ソタリ)は、1が三回と 2か3か5　という場合のみなので 4×3/6^4=2/216=1/108

(ツテ/トナ)は、4が出るか2か6が2回でることなのでこれも余事象で解きます。

135の三つしかでない場合と2か6が一回と135から三回でる場合を全体から引きます。1-(3^4+2×4×3^3)/6^4=1-11/48=37/48

NO.5-4　コインの問題(特殊) ～難易度☆☆☆★★

問題

83 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 20:00:59.39 ID:XJP+DC730

   区別の付く硬貨が3枚ありＡ，Ｂ，Ｃとする。一回目の試行で、いずれかの硬貨をひ
   っくり返す。
   いずれの硬貨も最初は表であるとし、いずれの硬貨も、ひっくり返された回
   数と状態だけを考慮して、ひっくり返された順序は考慮しない。
   4回の試行で、すべての硬貨が表である場合の数は{ア}通り
   5回の試行で少なくとも一つが表である場合の数は{イウ}通り
   6回の試行で、Ａが表である場合の数は{エオ}通り
   続いて、Ａ、Ｂ、Ｃがすべて裏になったとき、試行を中断するとする。
   Ａのひっくり返された回数が最大になって試行を中断するとき、試行回数の最小値は{カ}
   ひっくり返された回数がＡ，Ｂ、Ｃのいずれも異なるときに試行が中断した場合、試行回数の最小値は{キ}でそのときの場合の数は{ク}通り、そのうちひっくり返された回数においてＢが最大になるとき、場合の数は{ケ}通りである。

解答

...

(ア)6 (イウ)18 (エオ)16　(カ)5 (キ)9　(ク)6　(ケ)2

解説

(ア) 二つを2回ずつかひとつを4回の2パターンでそれぞれ3通りなので6。 (イウ) 全パターンは(A,B,C)=(5,0,0)(4,1,0)(3,1,1)(3,2,0)(2,2,1)で3+6+3+6+3=21通り。 全て裏になる時は(A,B,C)=(3,1,1)の並び替えより3通り。 これより18通り。 (エオ) A=6,4,2,0の時であり、それぞれのB,Cの回数の組み合わせを考えて 1+3+5+7=16通り。 (カ) Ａが最大⇔Ａ＞Ｂ,Ｃで全てが奇数だから(3,1,1)の時に5回で最小。 (キ) いずれも異なるから(5,3,1)で9回。 (ク) A,B,Cがランダムだから3!=6通り。 (ケ) つまりB=5だから2通り。

NO.5-5　信号の問題 難易度～☆☆☆★★

問題

 87 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 20:16:06.06 ID:XJP+DC730
   左から順に（赤、黄、青）のランプがついた点滅機が3つあり、Ａ、Ｂ、Ｃと区別する。
   ｔの値を自然数とする。（1、2、3…）、Ａはすべての自然数で点滅して、ｔ＝1におけ
   る点滅は任意の色であるが、ｔ＝2の点滅ではｔ＝1における点滅のすぐ右隣が点滅するも
   のと考える。Ｂはすべての奇数で点滅して、ｔ＝1における点滅は任意であるが、ｔ＝3に
   おける点滅はｔ＝1における点滅の右隣が点滅するものと考える。
   これがサイクルで成り 立つと考える。すなわち、次回の点滅は前回の点滅の右隣が点滅する。
   ただし、青の次の点滅は赤となる。ｔはすべての自然数を1から順に取るものとする。
   Ｃは一切点滅しないとすると、ｔ＝1の点滅の総数は{ア}、ｔ＝6の点滅の総数は{イ}
   ＣはＡ、Ｂの点滅が一致し たときに点滅し、点滅する色は任意であるとする。
   このとき、ｔ＝1の点滅の総数は{ウエ}
   ｔ＝51の点滅の総数は{オカ}である。

解答

...

(ア)9　(イ)3　(ウエ)15　(オカ)15

解説

(ア)

3×3=9通り

(イ)

3通り

(ウエ)

ＡとＢが一致の時の不一致の時で分けて、3×2+3×3=15通り

(オカ)

t=51の時AとBは点滅している。tは51が奇数であることからt=51の時もt=1と同様に考える。

よって、15通り。

NO.5-6　碁石の問題其の2 難易度～☆☆☆★★

問題

 97 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 20:40:03.43 ID:XJP+DC730
   白色の大中小の石が一つずつ計三つあり、赤色の石も同じように大中小一つずつ三つ
   ある。色および大きさは区別できるものとして、並べ方の総数は{アイウ}通りある。
   このうち大の石が隣り合う場合の並べ方は{エオカ}通り
   同じ大きさ同士がそれぞれ隣り合う並べ方は{キク}通り
   同じ大きさ同士がそれぞれ隣り合いかつ同じ色が隣り合わない並べ方は{ケコ}通りある。
   同じ大きさのものが隣り合わずかつ同じ色のものが隣り合わない並べ方は{サシ}通り。

解答

...

(アイウ)720　(エオカ)240　(キク)48　(ケコ)12　(サシ)12

解説

(アイウ)

6!=720通り

(エオカ)

白の大と赤の大をひとつにまとめて考える。よって、5!×2=240通り。

(キク)

それぞれ同じ大きさの碁石をひとつにまとめて考えて3!×2^3=48通り。

(ケコ)

まず3!=6通りのうち一番左が赤白だとすると次は赤白赤白で決定される。よって6×2=12通 り。

(サシ)

一番左を白大とすると二番目は、赤中か赤小で三番目は白小か白中･･･となるため、一番左を 固定した場合はそれぞれについて2通りしかない。よって6×2=12通り。

NO.5-7　VIPPERの問題 難易度～☆☆☆★★

問題

 122 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 21:11:15.32 ID:XJP+DC730
   ＶＩＰＰＥＲを並べ替えて出来る文字列の総数は{アイウ}個で、アルファベット
   の若い順に配置したとき、ＶＩＰＰＥＲは{エオカ}番目にくる。
   またＶＩＰＰＥＲから2文字を取り出すとき、取り出し方の総数は{キク}通りある。

解答

...

(アイウ)360　(エオカ)318　(キク)11

解説

(アイウ) 同じ文字を含む順列の公式より、6!/2=360 (エオカ) まず、アルファベット順に並べるとE,I,P,R,VであるのでVが最初にくるのは、 5!/2+5!/2+5!++5!/2+1=301番目 Iが二番目にくるのは、301番目から数えて 4!/2=12番後。そこから数えてPが三番目にくるのは、 3!/2=3番後。また、Pがくるのはそこから2!=2番後でこの時VIPPERになるから 301+12+3+2=318番目 (キク) Pを2個とる時と、それ以外で場合分けして1+5C2=11。