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5-1 内接円と正方形 ～難易度☆★★★★

問題

 30 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/25(火) 00:35:53.22 ID:Cx7wJ4f8O
   四角形ABCDは一辺の長さが１の正方形で、２つの円は合同である
   さて、その半径はいくらだろうか

解答

...

r=1/(√2(√2+1)+√2+2)

解説

半径をrとしてその半径の値はBE=xとして△ABEと△AECの面積をS,Tとして

r=2S/(1+x+√(x^2+1)),r=2T/(1-x+√2+√(1+x^2))

また、高さをABとみて、BE,ECを底辺にした三角形と考えて面積を計算した

S=1*x/2,T=1*(1-x)/2を代入してrを消去する。

x(√2+1-x+√(1+x^2))=(1-x)(1+x+√(1+x^2))

x(√2+2+2√(1+x^2))=1+x+√(1+x^2)

(√2+1)x-1=(1-2x)√(1+x^2)で両辺二乗して

((√2+1)x-1)^2=(1-2x)^2(1+x^2)と四次方程式になる。

(4x^2-4x+1)(x^2+1)-((√2+1)x-1)^2=0

4x^4-4x^3+5x^2-4x+1-((3+2√2)x^2-2(√2+1)x+1)=0

4x^4-4x^3+(2-2√2)x^2+(2√2-2)x=0でx≠0より2xで割って

2x^3-2x^2+(1-√2)x+(√2-1)=0でx=1を代入してこの式を満たすから

(x-1)(2x^2+1-√2)=0

0＜x＜1よりx^2=(√2-1)/2で

x=√(√2-1)/√2(∵0＜x＜1)

r=x/(1+x+√(x^2+1))

=√(√2-1)/(√2+√(√2-1))+√(√2+1))

=1/(√2(√2+1)+√2+2)

途中で、四次方程式になるけど極端のx=1,0を解に持つことが分かれば二次方程式も同然ですが…

NO.5-2　内接円と正方形 ～難易度☆☆★★★

**問題
1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/13(土) 13:58:16.02 ID:wjlzXPFA0
一辺8の正方形ABCDの辺BCの中点をMとし，∠BAM=∠MAEとなるように点EをCD上にとる。
このとき，三角形AMEの内接円の半径を求めよ。

解答

...

3√5-5

解説

∠BAM=αとしておく

AB=2BMより、sinα=1/√5,cosα=2/√5,tanα=1/2

DE×tan2α=8で

tan2α=2tanα/(1-tan^2α)=4/3より

DE=6…①

△AME=正方形ABCD-△ABM-△MCE-△ADE

=8^2-4×8/2-4×2/2-8×6/2

=64-16-4-24=20…②

また、三平方の定理より

AM=4√5,ME=2√5,AE=10…③

②,③より

20=r(4√5+2√5+10)/2

r=40/(6√5+10)=20/(3√5+5)=3√5-5

• 別解

AMとCDの交点をGとすると

∠EAM=EGM,AE=EG,AM=MG(∵BM=MC)より∠AME=90°なので

△ABM∽△AME

これより△ABMの内接円∽△AMEの内接円

また、△ABMと△AMEの相似比は、2:√5である。

△ABMの内接円は、

(4+8-4√5)/2=6-2√5より

これを√5/2倍して

r=3√5-5