12110007

公式

• 最大公約数と最小公倍数の関係～任意の自然数a,bについてそれらの最小公倍数をg,最大公約数をGとして、a=a'g,b=b'gとなるようにa',b'を定めると(a'とb'は互いに素) 　　この時、最大公約数と最小公倍数の関係は以下のように表される。

  G=a'b'g
  

• a'とb'の最小公倍数は、a'とb'が互いに素だからa'b'です。 　　　　　　　　よって、a'gとb'gの最小公倍数はa'b'gとなります。

NO.7-1 最小公倍数と最大公約数 難易度～☆☆★★★

問題

 6 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 18:00:43.88 ID:XJP+DC730
   制限時間14分　難易度３（実戦基礎）
 　たてがａ、よこがｂ（ａ＜ｂ）の長方形を隙間なく並べて、面積が最小の正方形をつ
   くる。ａ、ｂは自然数であり、互いに素であるとき、最小の正方形の面積は28224であっ
   た。このときａ、ｂの値の組は{ア}通りあり、ｂ－ａ＝13のとき、たてに{イウ}個の長方形
   が並ぶ。
   ａ、ｂが自然数のとき、2数の最大公約数が8であるとする。長方形の辺の周の長さが
   272のとき、ａの最大値は{エオ}、ｂの最大値は{カキク}、面積の最大値は{ケコサシ}

解答

...

(ア)4　(イウ)21　(エオ)64　(カキク)128　(ケコサシ)4608

解説

(ア)

面積が最小の正方形をつくるときの面積はaとbの最小公倍数^2である。

a,bが互いに素である時aとbの最大公約数は1であるため最小公倍数はabである。

故に(ab)^2=28224=4×7056=16×1764=16×4×441=21^2×2^6

ab=21×2^3=7×3×2^3,aとbは互いに素よりaかbの一方が2^3の因数をもつ。

これを踏まえて考えると(a,b)=(1,168)(3,56)(7,24)(8,21)で４通り。

(イウ)

b-a=13の時は(a,b)=(8,21)であるから

7×3×2^3/8=21個

(エオ)

2a+2b=272でa,bの最大公約数が8であるものを探せばよい。

a+b=136でaとbは8の倍数である必要があるからa=8p,b=8qとする。(p<q)

p+q=17よりp≦8である。p=8の時q=9でpとqは互いに素よりaとbの最大公約数は8のまま。

これよりa=8×8=64で最大。

(カキク)

q=16,p=1の時もpとqは互いに素よりaとbの最大公約数は8のまま。

これよりb=8×16=128で最大。

(ケコサシ)

相加相乗平均から、周の長さが一定の時の面積の最大値はpとqの値がなるべく近いときなの

で、(p,q)=(8,9)の時に最大。

この時64×72=4608である。

NO.7-2　最小公倍数と最大公約数2 難易度～☆☆★★★

問題

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/12(木) 07:37:46.05 ID:IthpORi40
   ある自然数AとBがある。
   この２数の最大公約数をG、最小公倍数をLとするとき、
   A^2＋B^2＋G^2＋L^2＝1300が成り立つ。
   (1)
   G＞１のときのAとBの値を求めよ。
   (2)
   G＝１のときのAとBの値を求めよ。

解答

...

(1)(5,25),(25,5) (2)(5,7),(7,5)

解説

便宜上途中A≦Bとしている。

(1)A=aG,B=bG(a,bは互いに素)とするとL=abGとおける。

すると上の式は、

G^2((ab)^2+a^2+b^2+1)=1300

G^2(a^2+1)(b^2+1)=1300=10^2*13

より、G=2,5,10のいずれか。

(ⅰ)G=10の時

(a^2+1)(b^2+1)=13となるが、これを満たすa,bの組は存在しない。

(ⅱ)G=5の時

(a^2+1)(b^2+1)=2^2*13でこれを満たす(a,b)の組は(1,5)

(ⅲ)G=2の時

(a^2+1)(b^2+1)=5^2*13でこれを満たす(a,b)の組は(2,8)だがこれは(a,b)が互いに素であることに反する。

これより、G=5の時の(a,b)=(1,5)だけなので

(5,25),(25,5)

(2)G=1の時

(a^2+1)(b^2+1)=2^2*5^2*13で

左辺から判断して13を因数に持つ場合は

2*13,5*13,5^2*13である。

2*13と2*5^2の場合は、(a,b)=(5,7)

5*13と2^2*5の場合は、なし

5^2*13と2^2の場合はなし

∴(5,7)(7,5)