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説明

  • 約数の個数の公式~任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを自然数とする。

     この時、自然数Π[k=1,m](a_k)^(b_k)の約数の個数は

(b_m+1)*(b_(m-1)+1)*…*(b_1+1)個
(=Π[k=1,m](b_k+1)個)
  • なぜこうなるかというと、例えばN=2^3*3^2の時の約数は2^m*3^nで表されます。

         ここで、mの選び方は0~3,nの選び方は0~2通り。

         この組み合わせを掛け合せて(3+1)(2+1)=12通りです。

         このようにしてそれぞれの素数についてのm乗の選び方

         の組み合わせを求めます。

  • 約数の総和の公式~任意の自然数kで定まるa_kは互いに異なる素数を表しb_kを自然数とする。

  この時、自然数Π[k=1,m](a_k)^(b_k)の約数の個数は

((a_m)^(b_m+1)-1)/(a_m-1) * ((a_(m-1))^(b_(m-1)+1)-1)/(a_(m-1)-1)…* ((a_1)^(b_1+1)-1)/(a_1-1)個
(=Π[k=1,m]((a_k)^(b_k+1)-1)/(a_k-1)個)
  • これの理由も上と似ています。kの値で分けて考えます。a_1のみの約数について

         a_1^0からa_1^(b_1)までが考えられるから

         ((a_1)^(b_1)+(a_1)^(b_1-1)+…+(a_1)^0)

         これにa_k-1を分母分子にかけて((a_1)^(b_1+1)-1)/((a_1)-1)。

         これはほかのa_kについても同様に成り立つからこれらをかけあわせて上の公式を導く。

NO.8-1 約数の総和

問題

 53 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/29(土) 18:54:53.60 ID:XJP+DC730
   制限時間11分 難易度3(実戦基礎)
   960の約数の総数は{アイ}個、そのうち3の倍数でないものは{ウエ}個、3の倍数でな
   い約数の総和は{オカキ}
   1~200までの中に、40より大きな5の倍数の数は{クケ}個あり、7の倍数は{コサ}個ある。
   1×2×3×4×5……×199×200=Pとすると、Pは{シス}回7で割り切れ、{セソ}回14で
   割り切れる。

解答

+ ...

NO.8-2 約数の総和2

問題

 45 名前:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日:2009/03/30(月) 01:27:16.53 ID:vMqlMrlEO
  約数がちょうど28個である自然数のうち最小のものを求めよ

解答

+ ...
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