66 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 19:14:09.94 ID:XJP+DC730
10000を素因数に分解すると2＾{ア}×5＾{イ}
3以上9999以下の奇数ａとし、ａ（ａ－1）が10000で割り切れるときのａの値を考える。
2は偶数、5は奇数、ａとａ－1はお互いに素だから、奇数ａは{ウ}で割り切れる。
すなわち、ある自然数ｔとおくと、ａ＝{エ}とおける。
またａ－1は{オ}で割り切れるので、ある自然数ｓを用いて、ａ－1＝{カ}とおける。
ａ－1とａは連続する自然数だから、その差は1である。すなわち{キ}＝1である。
ここで小さい順に、ｔの値を考え、それに対して方程式が成り立つものを考えると、
ａ＜10000を満たすことを考えると、ｔ＜{ク}である。
この範囲において、成り立つａは{ケコサ}だけである。
111 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 22:36:05.94 ID:gvHfYq1k0 ３以上９９９９以下の奇数aで、a＾2－aが１００００で割り切れるものをすべて求めよ。
(ア)(イ)4,4 (ウ)(エ)5^4,5^4t (オ)(カ)2^4,2^4s (キ)5^4t-2^4s=1 (ク)16 (ケコサ)625
(ア)(イ)
10000=10^4=2^4*5^4
(ウ)(エ)
aとa-1は連続した整数であり、aは奇数であるためaが5^4の因数をもたないといけない。
(もし、aとa-1がともに5の因数を持つときaとa-1が連続することに矛盾。
またa-1が5^4の因数をもつ場合もa-1=10000となりa-1＞aとなるため不適。)
よって、a=5^4･t
(オ)(カ)
aが奇数よりa-1=2^4s
(キ)
これより5^4t-2^4s=1である。
(ク)
5^4t=a＜10000からt＜16である。
(ケコサ)
1≦t≦15であり、それぞれのtについて対応するsが存在するかを確かめる。
5^4t-1=2^4sとして
t=1→624÷16=39よりs=39の時に成立。よってa=625
(625t-1)÷16=(624+625(t-1))÷16で625(t-1)/16が割り切れるtはt＞2の時t=17が最小となるがこれは、tの範囲に含まれず不適。
245 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/30(日) 00:14:45.32 ID:rxIZ782y0 ある自然数ｘ、ｙ、ｚが、ｘｙｚ＝ｘ＾2ｚ＋ｘｚを満たすとき、 ｙｚ＾2－ｘｙ＾2ｚ＋ｘｙ＾2－ｘｚ＾2＋ｘ＾2ｙｚ－ｘ＾2ｙ＝ｋと定義される方程式を 考える。ただしｋは自然数である。 ｚ＜ｙとする。ｋの最小値とそのときのｘ、ｙ、ｚの値を求めよ
k=1,(x,y,z)=(n,n+1,1)(nは任意の自然数)
xyz=x^2z+xzはxzで割ってy=x+1にしておきましょう。
ｙｚ＾2－ｘｙ＾2ｚ＋ｘｙ＾2－ｘｚ＾2＋ｘ＾2ｙｚ－ｘ＾2ｙ＝ｋ
(y-x)z^2-xy(y-x)z+xy(y-x)=k
(y-x)(z^2-xyz+xy)=k
最初の条件よりy-x=1なので
z^2-xyz+xy=k。z＜yがあるのでx=y-1を代入
z^2-y(y-1)z+y(y-1)=k
z^2+yz-y=k
(z+y+1)(z-1)+1=kより
これよりz=1の時k=1で最小(kは自然数)
また、x,yはy-x=1以外の制約を受けない。
よってk=1,(x,y,z)=(n,n+1,1)(nは自然数)
307 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/30(日) 15:11:20.40 ID:hRBsSGH10 (1) p=m^n-n^n(p,mは素数,nは自然数)を満たす(p,n,m)の組を全て求めよ。 (2) p^qr=q^r+r^q(p,q,rは素数)を満たす(p,q,r)の組を全てもとめよ。
(1)(5,3,2) (2)なし
(1) n=akとすると(a,k共に2以上の自然数)
p=(m^a-n^a)(m^a(k-1)+…+n^a(k-1))
=(m-n)(m^(a-1)+…+n^(a-1))(m^a(k-1)+…+n^a(k-1))
と因数分解される。ため不適。よってnは、素数。
また、その場合でもm-n=1でないとpが素数の条件に反するからm-n=1。
これよりp=(n+1)^n-n^n(p,m,nは素数)と置き換えられる。
n+1とnが共に素数であるのはn=2の時のみ。
このときp=5で成立するから(5,3,2)が答え。
(2)
p^qr=q^r+r^q(p,q,rは素数)
まず、pが奇数ならqとrのうちいずれかは偶数である。
そこで、r=2とすると
p^2q-q^2=2^q
(p^q-q)(p^q+q)=2^q
ここで、q=m+nとして
p^q-q=2^mとして、p^q+q=2^nとおける。(n＞m)
2q=2^n-2^m
q=2^(m-1)(2^(n-m)-1)
qは素数よりm=1である。
これよりp^q-q=2
p^q=2+qをp^2q-q^2=2^qに代入して計算して
q+2=2^(q-1)
しかし、qが奇数の時左辺奇数右辺偶数より矛盾。
これよりqは偶数だが、これは最初の条件に反する。よってpが奇数の時解は存在しない。
また、pが偶数ならqとrは共に偶数であるがこれは(2,2,2)のみで
2^4≠2^2+2^2より上の式を満たさない。
これより、pが偶数の時も解は存在しない。 これより、解なし。
44 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/08/01(土) 21:43:29.59 ID:8UXwx5Ns0 三角形ABCにおいて、∠B = 60◦でその対辺の長さbは整数、他の2辺の長さa、cが いずれも素数であるとき三角形ABCは正三角形であることを示せ （京大・理）
略
a,c＞bだと∠A+∠C+∠B＞3∠B＞180°で矛盾。
a,c＜bだと∠A+∠C+∠B＜3∠B＜180°で矛盾。
これらよりa≦b≦c or c≦b≦aであるので
a≦b≦cとしても一般性を失わない。…①
余弦定理より
b^2=a^2+c^2-ac
b^2-a^2=c(c-a)…②
(b+a)(b-a)=c(c-a)でc＞b-a、(∵①)cは素数より
(b+a)=ck(kは自然数)とおける。…③
②に③を代入してbを消去すると
ck(ck-2a)=c(c-a)から
k(ck-2a)=c-aより
c(k+1)(k-1)=a(2k-1) （この式よりk≠1としてよい。）…④
この時、c/a=(2k-1)/(k+1)(k-1)≧1(∵c≧a)が必要条件で
これを満たすkは
2k-1≧k^2-1より0≧k(k-2)より0≦k≦2
kは自然数であり、さらに④よりkはk=2に限る。
この時④にk=2を代入して
3c=3aよりa=c…⑤
⑤を①に代入してb=a…⑥
⑤,⑥よりa=b=cなので△ABCは正三角形である。
19 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/09/03(木) 01:33:32.39 ID:pQ4fHd1sO a^2+2=b^3を満たす正整数の組(a,b)を全て求めてください
a=5,b=3
a=5,b=3で成立するから両辺-27で
(a-5)(a+5)=(b-3)(b^2+3b+9)=(b-3)((b-3)^2+9(b-3)+27)
b-3と((b-3)^2+9(b-3)+27)についてb-3が3の倍数でなければ互いに素。
a-5とa+5について共役数が存在するとすれば10か5か2のみ。と共役数が少ないので互いに素に
持ち込めそう。
a-5=s,b-3=tとおいて考える。(s≧-5,t≧-3)
s(s+10)=t(t^2+9t+27)
s＞0,t＞0としてsとtの最大公約数をkとしてs=ks',t=kt'とすると
s'(ks'+10)=t'((kt')^2+9(kt')+27)
s'とt'は互いに素より
ks'+10=t'…①
s'=(kt')^2+9(kt')+27…②
①を②に代入して
(t'-10)/k=(kt')^2+9kt'+27で
k^3t'^2+(9k^2-1)t'+27k+10=0
D=(9k^2-1)^2-4k^3(27k+10)
=-27k^4-40k^3-18k^2+1＜0で解なし。
また、sが負の時は左辺負より右辺負であり、
t^2+9t+27＞0(∵81-27*4＜0)だからtも負。
∴s,t＞0は不適で、s,t＜0 or s=t=0のみを考えればよい。
s＜0,t＜0⇔1≦a≦4,1≦b≦2でこの場合を考えると
b=1でa^2+2=1は不適,b=2でa^2+2=8で不適。
∴s=t=0の時(a=5,b=3)のみ成立。
1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/13(木) 21:05:01.55 ID:T61Uw26i0 xy=x+yがx,yが整数で成立する組数はいくつ？
2つ
因数分解して簡単にします。
xy-x-y=0
(x-1)(y-1)-1=0
(x-1)(y-1)=1
これを満たすのは、(x-1,y-1)=(1,1)(-1,-1)のみ。
よって(x,y)=(2,2)(0,0)の二組。
127 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/05/25(月) 00:31:40.22 ID:ek549/iT0 俺も出題します 2桁の自然数Aの一の位の数字をbとするとき A^2-b^2=2080 がなりたつ。bは次のうちどれか(地上) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
C
左辺因数分解,右辺素因数分解して
(A+b)(A-b)=2^5*13*5
A-bが十の倍数であるから
(A+b)(A-b)=2^4*13*10
右辺が偶数よりA+b,A-bはともに偶数であることとA+b≧A-b,A+b-(A-b)＜20に注意すると
(A+b,A-b)=(52,40)に限り、
この時、A=46でb=6
222 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/20(土) 22:27:28.65 ID:9k7dJNKV0 じゃあ去年うちの大学（理系）で出た問題を X,Yを正の定数とするとき 1. 2/X＋1/Y＝1/4 を満たす組(X,Y)をすべて求めよ。 2. pを3以上の素数とする。2/X＋1/Y＝1/pを満たす組(X,Y)のうち、 2X＋3Yを最小にする(X,Y)を求めよ。
226 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/20(土) 22:33:10.77 ID:SkP6cnBf0 １．(9,36)(10,20)(12,12)(16,8)(24,6)(40,5) 233 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/06/20(土) 22:40:54.43 ID:SkP6cnBf0 >>231 自己レス。最大と間違えた。 X=4p Y=2p
(1)は高校入試でもみかける超有名問題。 両辺4XY倍して
8Y+4X=XYから(X-8)(Y-4)=32で32=2^5より
(X-8,Y-4)=(1,32)(2,16)(4,8)(8,4)(16,2)(32,1)が考えられる
(X-8,Y-4＜0の時は存在しない)このとき、
(X,Y)=(9,36)(10,20)(12,12)(16,8)(24,6)(40,5)
(2)もpXY倍して
2pY+pX=XYより
(Y-p)(X-2p)=2p^2と変形される。
pが素数より
(X-2p,Y-p)=(1,2p^2)(2,p^2)(p,2p)(2p,p)(p^2,2)(2p^2,1)が考えられ、
2X+3Y=2(X-2p)+3(Y-p)+7pの最小値は
2(X-2p)+3(Y-p)が最小値をとる時でそれぞれ
2+6p^2,4+3p^2,2p+6p,4p+3p,2p^2+6,4p^2+3であり、
2+6p^2,4+3p^2,4p^2+3＞2p^2+6であるから
7pと2p^2+6の比較だが、7p＜2p^2+6より7pで最小。
この時(X-2p,Y-p)=(2p,p)より
(X,Y)=(4p,2p)
