12110009


※上記の広告は60日以上更新のないWIKIに表示されています。更新することで広告が下部へ移動します。

NO.9-1 東大の過去問 難易度~☆☆★★★

問題

 66 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/29(土) 19:14:09.94 ID:XJP+DC730
   10000を素因数に分解すると2^{ア}×5^{イ}
   3以上9999以下の奇数aとし、a(a-1)が10000で割り切れるときのaの値を考える。
   2は偶数、5は奇数、aとa-1はお互いに素だから、奇数aは{ウ}で割り切れる。
   すなわち、ある自然数tとおくと、a={エ}とおける。
   またa-1は{オ}で割り切れるので、ある自然数sを用いて、a-1={カ}とおける。
   a-1とaは連続する自然数だから、その差は1である。すなわち{キ}=1である。
   ここで小さい順に、tの値を考え、それに対して方程式が成り立つものを考えると、
   a<10000を満たすことを考えると、t<{ク}である。
   この範囲において、成り立つaは{ケコサ}だけである。
  • 同問
      111 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/02/19(木) 22:36:05.94 ID:gvHfYq1k0
        3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。 
    

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。

(ア)(イ)4,4 (ウ)(エ)5^4,5^4t (オ)(カ)2^4,2^4s (キ)5^4t-2^4s=1 (ク)16 (ケコサ)625

解説

(ア)(イ)

10000=10^4=2^4*5^4

(ウ)(エ)

aとa-1は連続した整数であり、aは奇数であるためaが5^4の因数をもたないといけない。

(もし、aとa-1がともに5の因数を持つときaとa-1が連続することに矛盾。

またa-1が5^4の因数をもつ場合もa-1=10000となりa-1>aとなるため不適。)

よって、a=5^4・t

(オ)(カ)

aが奇数よりa-1=2^4s

(キ)

これより5^4t-2^4s=1である。

(ク)

5^4t=a<10000からt<16である。

(ケコサ)

1≦t≦15であり、それぞれのtについて対応するsが存在するかを確かめる。

5^4t-1=2^4sとして

t=1→624÷16=39よりs=39の時に成立。よってa=625

  • 補足

(625t-1)÷16=(624+625(t-1))÷16で625(t-1)/16が割り切れるtはt>2の時t=17が最小となるがこれは、tの範囲に含まれず不適。

NO.9-2 因数分解による単純化 難易度~☆☆★★★

問題

 245 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/30(日) 00:14:45.32 ID:rxIZ782y0
   ある自然数x、y、zが、xyz=x^2z+xzを満たすとき、
   yz^2-xy^2z+xy^2-xz^2+x^2yz-x^2y=kと定義される方程式を
   考える。ただしkは自然数である。
   z<yとする。kの最小値とそのときのx、y、zの値を求めよ

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。

k=1,(x,y,z)=(n,n+1,1)(nは任意の自然数)

解説

xyz=x^2z+xzはxzで割ってy=x+1にしておきましょう。

yz^2-xy^2z+xy^2-xz^2+x^2yz-x^2y=k

(y-x)z^2-xy(y-x)z+xy(y-x)=k

(y-x)(z^2-xyz+xy)=k

最初の条件よりy-x=1なので

z^2-xyz+xy=k。z<yがあるのでx=y-1を代入

z^2-y(y-1)z+y(y-1)=k

z^2+yz-y=k

(z+y+1)(z-1)+1=kより

これよりz=1の時k=1で最小(kは自然数)

また、x,yはy-x=1以外の制約を受けない。

よってk=1,(x,y,z)=(n,n+1,1)(nは自然数)

NO.9-4 素数と因数 ~難易度☆★★★★

問題

 307 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/30(日) 15:11:20.40 ID:hRBsSGH10
   (1)
   p=m^n-n^n(p,mは素数,nは自然数)を満たす(p,n,m)の組を全て求めよ。
   (2)
   p^qr=q^r+r^q(p,q,rは素数)を満たす(p,q,r)の組を全てもとめよ。

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。

(1)(5,3,2) (2)なし

解説

(1) n=akとすると(a,k共に2以上の自然数)

p=(m^a-n^a)(m^a(k-1)+…+n^a(k-1))

=(m-n)(m^(a-1)+…+n^(a-1))(m^a(k-1)+…+n^a(k-1))

と因数分解される。ため不適。よってnは、素数。

また、その場合でもm-n=1でないとpが素数の条件に反するからm-n=1。

これよりp=(n+1)^n-n^n(p,m,nは素数)と置き換えられる。

n+1とnが共に素数であるのはn=2の時のみ。

このときp=5で成立するから(5,3,2)が答え。

(2)

p^qr=q^r+r^q(p,q,rは素数)

まず、pが奇数ならqとrのうちいずれかは偶数である。

そこで、r=2とすると

p^2q-q^2=2^q

(p^q-q)(p^q+q)=2^q

ここで、q=m+nとして

p^q-q=2^mとして、p^q+q=2^nとおける。(n>m)

2q=2^n-2^m

q=2^(m-1)(2^(n-m)-1)

qは素数よりm=1である。

これよりp^q-q=2

p^q=2+qをp^2q-q^2=2^qに代入して計算して

q+2=2^(q-1)

しかし、qが奇数の時左辺奇数右辺偶数より矛盾。

これよりqは偶数だが、これは最初の条件に反する。よってpが奇数の時解は存在しない。

また、pが偶数ならqとrは共に偶数であるがこれは(2,2,2)のみで

2^4≠2^2+2^2より上の式を満たさない。

これより、pが偶数の時も解は存在しない。 これより、解なし。

NO.9-5 図形と整数問題融合 ~難易度☆☆★★★

問題

44 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/08/01(土) 21:43:29.59 ID:8UXwx5Ns0
   三角形ABCにおいて、∠B = 60◦でその対辺の長さbは整数、他の2辺の長さa、cが
   いずれも素数であるとき三角形ABCは正三角形であることを示せ (京大・理) 

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。

解説

a,c>bだと∠A+∠C+∠B>3∠B>180°で矛盾。

a,c<bだと∠A+∠C+∠B<3∠B<180°で矛盾。

これらよりa≦b≦c or c≦b≦aであるので

a≦b≦cとしても一般性を失わない。…①

余弦定理より

b^2=a^2+c^2-ac

b^2-a^2=c(c-a)…②

(b+a)(b-a)=c(c-a)でc>b-a、(∵①)cは素数より

(b+a)=ck(kは自然数)とおける。…③

②に③を代入してbを消去すると

ck(ck-2a)=c(c-a)から

k(ck-2a)=c-aより

c(k+1)(k-1)=a(2k-1) (この式よりk≠1としてよい。)…④

この時、c/a=(2k-1)/(k+1)(k-1)≧1(∵c≧a)が必要条件で

これを満たすkは

2k-1≧k^2-1より0≧k(k-2)より0≦k≦2

kは自然数であり、さらに④よりkはk=2に限る。

この時④にk=2を代入して

3c=3aよりa=c…⑤

⑤を①に代入してb=a…⑥

⑤,⑥よりa=b=cなので△ABCは正三角形である。

NO.9-6 因数分解形を無理矢理作る ~難易度★★★★★

問題

19 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/09/03(木) 01:33:32.39 ID:pQ4fHd1sO
   a^2+2=b^3を満たす正整数の組(a,b)を全て求めてください 

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。

a=5,b=3

解説

a=5,b=3で成立するから両辺-27で

(a-5)(a+5)=(b-3)(b^2+3b+9)=(b-3)((b-3)^2+9(b-3)+27)

b-3と((b-3)^2+9(b-3)+27)についてb-3が3の倍数でなければ互いに素。

a-5とa+5について共役数が存在するとすれば10か5か2のみ。と共役数が少ないので互いに素に

持ち込めそう。

a-5=s,b-3=tとおいて考える。(s≧-5,t≧-3)

s(s+10)=t(t^2+9t+27)

s>0,t>0としてsとtの最大公約数をkとしてs=ks',t=kt'とすると

s'(ks'+10)=t'((kt')^2+9(kt')+27)

s'とt'は互いに素より

ks'+10=t'…①

s'=(kt')^2+9(kt')+27…②

①を②に代入して

(t'-10)/k=(kt')^2+9kt'+27で

k^3t'^2+(9k^2-1)t'+27k+10=0

D=(9k^2-1)^2-4k^3(27k+10)

=-27k^4-40k^3-18k^2+1<0で解なし。

また、sが負の時は左辺負より右辺負であり、

t^2+9t+27>0(∵81-27*4<0)だからtも負。

∴s,t>0は不適で、s,t<0 or s=t=0のみを考えればよい。

s<0,t<0⇔1≦a≦4,1≦b≦2でこの場合を考えると

b=1でa^2+2=1は不適,b=2でa^2+2=8で不適。

∴s=t=0の時(a=5,b=3)のみ成立。

NO.9-7 整数問題の基礎 ~難易度☆☆☆★★

問題

  1 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/13(木) 21:05:01.55 ID:T61Uw26i0
   xy=x+yがx,yが整数で成立する組数はいくつ? 

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。

2つ

解説

因数分解して簡単にします。

xy-x-y=0

(x-1)(y-1)-1=0

(x-1)(y-1)=1

これを満たすのは、(x-1,y-1)=(1,1)(-1,-1)のみ。

よって(x,y)=(2,2)(0,0)の二組。

NO.9-8 因数分解 ~難易度☆☆☆★★

問題

127 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/05/25(月) 00:31:40.22 ID:ek549/iT0
   俺も出題します
   2桁の自然数Aの一の位の数字をbとするとき
   A^2-b^2=2080
   がなりたつ。bは次のうちどれか(地上)
   A. 4
   B. 5
   C. 6
   D. 7
   E. 8

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。

C

解説

左辺因数分解,右辺素因数分解して

(A+b)(A-b)=2^5*13*5

A-bが十の倍数であるから

(A+b)(A-b)=2^4*13*10

右辺が偶数よりA+b,A-bはともに偶数であることとA+b≧A-b,A+b-(A-b)<20に注意すると

(A+b,A-b)=(52,40)に限り、

この時、A=46でb=6

NO.9-9 因数分解形 ~難易度☆☆★★★

問題

222 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/20(土) 22:27:28.65 ID:9k7dJNKV0
   じゃあ去年うちの大学(理系)で出た問題を
   X,Yを正の定数とするとき
   1. 2/X+1/Y=1/4 を満たす組(X,Y)をすべて求めよ。
   2. pを3以上の素数とする。2/X+1/Y=1/pを満たす組(X,Y)のうち、
    2X+3Yを最小にする(X,Y)を求めよ。 

解答

対応するregion、endregionプラグインが不足しています。対になるようプラグインを配置してください。
226 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/20(土) 22:33:10.77 ID:SkP6cnBf0
   1.(9,36)(10,20)(12,12)(16,8)(24,6)(40,5) 
233 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/06/20(土) 22:40:54.43 ID:SkP6cnBf0
   >>231
   自己レス。最大と間違えた。
   X=4p
   Y=2p 

解説

(1)は高校入試でもみかける超有名問題。 両辺4XY倍して

8Y+4X=XYから(X-8)(Y-4)=32で32=2^5より

(X-8,Y-4)=(1,32)(2,16)(4,8)(8,4)(16,2)(32,1)が考えられる

(X-8,Y-4<0の時は存在しない)このとき、

(X,Y)=(9,36)(10,20)(12,12)(16,8)(24,6)(40,5)

(2)もpXY倍して

2pY+pX=XYより

(Y-p)(X-2p)=2p^2と変形される。

pが素数より

(X-2p,Y-p)=(1,2p^2)(2,p^2)(p,2p)(2p,p)(p^2,2)(2p^2,1)が考えられ、

2X+3Y=2(X-2p)+3(Y-p)+7pの最小値は

2(X-2p)+3(Y-p)が最小値をとる時でそれぞれ

2+6p^2,4+3p^2,2p+6p,4p+3p,2p^2+6,4p^2+3であり、

2+6p^2,4+3p^2,4p^2+3>2p^2+6であるから

7pと2p^2+6の比較だが、7p<2p^2+6より7pで最小。

この時(X-2p,Y-p)=(2p,p)より

(X,Y)=(4p,2p)

ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。