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NO.15-1 絶対値つき二次方程式 難易度~☆☆★★★

問題

 165 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/11/29(土) 22:21:37.88 ID:XJP+DC730
  |x^2-2x-15|-x-3=0 の解はx={アイ}、{ウ}、{エ}
  方程式が異なる二つの解を持つときのxの範囲は{オカ}≦x<{キ}、この範囲に
  x^2-(a+b)x+ab=0(0<a<b)が異なる二つの整数解を持つと考える。
  この2次方程式の解をA,BとするとA:B=2:3が成り立つ。この時Aの取りうる値は{ク}
  x-4<2k+1……① 2x-6≧-12……②とする連立不等式が{オカ}≦x<{キ}に含まれるとき、kの範囲は{ケ}(以下から選ぶ)
   ケ ①k<-4 ②k≦-4 ③k<0 ④k≦0 ⑤k<4 ⑥k≦4 

解答

+...

(アイ,ウ,エ)-3,4,6 (オカ,キ)-3,5 (ク)2 (ケ)④

解説

(アイ,ウ,エ)

|x^2-2x-15|-x-3=|(x-5)(x+3)|-(x+3)=0

x≧5,x≦-3の時

(x-5)(x+3)-(x+3)=0

(x+3)(x-6)=0でx=6,-3

  • 3≦x≦5の時
  • (x-5)(x+3)-(x+3)=0

(x-4)(x+3)=0でx=4,-3であるから解は、x=-3,4,6。

(オカ,キ)

上と比べて-3≦x<5

(ク)

(x-a)(x-b)=0よりx=a,bでa:b=2:3からb=3a/2しかし、a,bは整数解よりaは偶数。

これをふまえるとa=2,4で対応するbは3,6。bがxの範囲を超えるためa=4は不適。

よってa=2。つまり、A=2

(ケ)

  • 3≦x<2k+5であるから、2k+5≦5であればよい。ゆえにk≦0で④

NO.15-2 二次方程式の解と係数 難易度~☆☆★★★

問題

19 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2009/04/05(日) 20:58:21.02 ID:rIFnCE6C0
   2次方程式
   ① x^2+ax+b=0
   ② ax^2+bx+1=0
   が実数解pを共通に持つ時、
   (1)pを求めろ
   (2)a+bを求めろ
   虚数解qを共通に持つ時、
   a,bを求めろ。
   ちなみにできないので答えは分かりません。 

解答

+...

実数解p(1)p=1(2)a+b=-1

虚数解q a=b=1

解説

実数解pを共通に持つ時

(1)

p^2+ap+b=0…①,ap^2+bp+1=0…②をpは満たす。

①×p-②=0も成立するから

p^3-1=0より

p=1

(2)

p=1を①に代入してa+b=-1

虚数解qを共通に持つ時

q^2+aq+b=0…③,aq^2+bq+1=0…④をqは満たす。

③×q-④=0も満たすから

q^3-1=0よりq=ω,ω^2(ωは虚数立方根(-1+i√3)/2とする。)

ここで、ωとω^2は共役であるから、ωまたはω^2を解に持つ二次方程式はもう一方のω^2またはωを他解にもつ。

∴これを満たす二次方程式は、(x-ω)(x-ω^2)=0より

x^2+x+1=0

∴a=b=1

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