12111006

NO.15-1 絶対値つき二次方程式 難易度～☆☆★★★

問題

 165 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 22:21:37.88 ID:XJP+DC730
  ｜ｘ＾2－2ｘ－15｜－ｘ－3＝0　の解はｘ＝{アイ}、{ウ}、{エ}
  方程式が異なる二つの解を持つときのｘの範囲は{オカ}≦ｘ＜{キ}、この範囲に
  ｘ＾2－（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝0（0＜ａ＜ｂ）が異なる二つの整数解を持つと考える。
  この2次方程式の解をＡ,ＢとするとＡ:Ｂ＝2:3が成り立つ。この時Ａの取りうる値は{ク}
  ｘ－4＜2ｋ＋1……①　2ｘ－6≧－12……②とする連立不等式が{オカ}≦ｘ＜{キ}に含まれるとき、ｋの範囲は{ケ}（以下から選ぶ）
   ケ　①ｋ＜－4　②ｋ≦－4　③ｋ＜0　④ｋ≦0　⑤ｋ＜4　⑥ｋ≦4 

解答

...

(アイ,ウ,エ)-3,4,6　(オカ,キ)-3,5　(ク)2　(ケ)④

解説

(アイ,ウ,エ)

｜ｘ＾2－2ｘ－15｜－ｘ－3=|(x-5)(x+3)|-(x+3)=0

x≧5,x≦-3の時

(x-5)(x+3)-(x+3)=0

(x+3)(x-6)=0でx=6,-3

• 3≦x≦5の時

• (x-5)(x+3)-(x+3)=0

(x-4)(x+3)=0でx=4,-3であるから解は、x=-3,4,6。

(オカ,キ)

上と比べて-3≦x＜5

(ク)

(x-a)(x-b)=0よりx=a,bでa:b=2:3からb=3a/2しかし、a,bは整数解よりaは偶数。

これをふまえるとa=2,4で対応するbは3,6。bがxの範囲を超えるためa=4は不適。

よってa=2。つまり、Ａ=2

(ケ)

• 3≦x＜2k+5であるから、2k+5≦5であればよい。ゆえにk≦0で④

NO.15-2　二次方程式の解と係数　難易度～☆☆★★★

問題

19 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/04/05(日) 20:58:21.02 ID:rIFnCE6C0
   2次方程式
   ①　x^2+ax+b=0
   ②　ax^2+bx+1=0
   が実数解pを共通に持つ時、
   (1)pを求めろ
   (2)a+bを求めろ
   虚数解qを共通に持つ時、
   a,bを求めろ。
   ちなみにできないので答えは分かりません。 

解答

...

実数解p(1)p=1(2)a+b=-1

虚数解q　a=b=1

解説

実数解pを共通に持つ時

(1)

p^2+ap+b=0…①,ap^2+bp+1=0…②をpは満たす。

①×p-②=0も成立するから

p^3-1=0より

p=1

(2)

p=1を①に代入してa+b=-1

虚数解qを共通に持つ時

q^2+aq+b=0…③,aq^2+bq+1=0…④をqは満たす。

③×q-④=0も満たすから

q^3-1=0よりq=ω,ω^2(ωは虚数立方根(-1+i√3)/2とする。)

ここで、ωとω^2は共役であるから、ωまたはω^2を解に持つ二次方程式はもう一方のω^2またはωを他解にもつ。

∴これを満たす二次方程式は、(x-ω)(x-ω^2)=0より

x^2+x+1=0

∴a=b=1