12240005

NO.5-1　n項漸化式と循環 ～難易度☆★★★★

問題

 282 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/30(日) 03:05:39.65 ID:hRBsSGH10
   以下の漸化式を満たす数列{A_n}について以下の問いに答えよ。ただしaは自然数である。
   A_(n+a)*A_(n+(a-1))*…*A_n=A_(n+a)+A_(n+(a-1))+…+A_n…①
   (1)a=2,A_1=√3,A_3=1の時のA_2008を求めよ。
   (2)任意のaについてA_n=A_(n+(a+1))であることを示せ。 

解答

...

(1)√3　(2)解説参照

解説

(1)

まあ、普通にやっても出来ますが少しトリッキーなことをやってみると

A_(n+2)*A_(n+1)*A_(n)=A_(n+2)+A_(n+1)+A_(n)

　-A_(n+2)=(A_(n+1)+A_n)/(1-A_(n+1)*A_n)

A_1=tan60°,A_3=tan45°(-A_3=tan135°)とすると上の式はtanの加法定理と同じだからA_2=tanθとおくと

60°+θ=135°∴θ=75°である。

　-A_4=tan(45+75)=tan120°よりA_4=tan60°=A_1。

A_5=-tan(75+60)=tan45°よりA_5=A_2。

これより、A_n=A_n+3である。

つまり、三の倍数の余りによって第n項の値が定まる。

2008=669*3+1よりA_1=A_2008=√3

(2)

(Ⅰ)まず、あるnについてA_n=0の時

A_(n+a)*A_(n+(a-1))*…*A_n=A_(n+a)+A_(n+(a-1))+…+A_nと

A_(n+a+1)*A_(n+a)*…*A_(n+1)=A_(n+a+1)+A_(n+a)+…+A_(n+1)

これを引き算してA_(n+a+1)=A_n=0。

これは、左辺にA_nが存在する時に同様に成立する。つまり、最低項がA_nの時から最大項がA_nの時までについてである。

（A_(n+a+1)=A_nからA_(n+2a+1)=A_(n+a)が成立。）これより、A_(n+a+1)=A_n=0が全てのnについて示された。

(Ⅱ)任意のnでA_n≠0の時

A_(n+a)*A_(n+(a-1))*…*A_n=A_(n+a)+A_(n+(a-1))+…+A_n

⇔A_(n+a)*A_(n+(a-1))*…*A_(n+1)=(A_(n+a)+A_(n+a-1)+…+A_(n+1))/A_n +1①

A_(n+a+1)*A_(n+a)*…*A_(n+1)=A_(n+a+1)+A_(n+a)+…+A_(n+1)

⇔A_(n+a)*A(n+a-1)*…*A_(n+1)=(A_(n+a)+A_(n+a-1)+…A_(n+1)/A_(n+a+1) +1②

①②を解いてA_(n+a+1)=A_n

• 補足 A_(n+a)*A_(n+(a-1))*…*A_n=A_(n+a)+A_(n+(a-1))+…+A_n

A_(n+a+1)*A_(n+a)*…*A_(n+1)=A_(n+a+1)+A_(n+a)+…+A_(n+1)を引いて

(A_(n+a+1)-A_n)(A_(n+a)*…*A_(n+1)-1)=0みたいにやってしまうと

A_(n+a)*…*A_(n+1)=1

A_(n+a+1)*…*A_(n+2)=1から

A_(n+a+1)=A_(n+1)⇔A_(n+a)=A_nとなってこの場合を考えることになってしまいます。

これの矛盾を導く方法もありそうですが割愛。