NO.6-1 数列 難易度~☆★★★★?
問題
106 : ◆hNSBMrrUeA :2008/10/31(金) 00:38:26.63 ID:ciaCpCcqO
数列 {a_n} があり、各 n に対して
a_n < 42 ならば a_{n+1} = a_n + 8
a_n ≧ 42 ならば a_{n+1} = a_n - 42
であるとし、a_1 は 0≦a_1<50 を満たす整数とする。
このとき、a_1 = a_{1+N} であるような自然数 N が存在することを示し、
そのような N の最小値を求めよ。
解答
+
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... |
それぞれのa_nの漸化式の条件から0≦a_n≦49である。
仮にa_1=0の時はa_7=48,a_8=6,…a_13=46,a_14=4,…a_19=44,a_20=2…a_25=42,a_26=0となる。
a_n≧42の時の操作の回数を□回とあらわす。
a_1=8k+aとすると、一回目ではa-2(a+6)、二回目ではa-4(a+4),三回目ではa-6(a+2),4回目ではa-8かaとなる
ここでa-8(a)にa_n≦41の時の操作を(k+1)回(k回)行うとa_1に等しいa_(N+1)が存在する。
Nは少なくとも4回の操作が必要で
0≦a_k≦8とするとa_k=0,1の時それぞれの間での回数は6回ある。それ以外では5回ある。
この操作の回数はの内6回は一回で5回は三回だから21回は最低おこる。
また余った部分の最低は5回だから26回が最小なのでN=25?
解説
曖昧な感じですみません。
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最終更新:2008年12月02日 16:18