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NO.6-1 数列 難易度~☆★★★★?

問題

 106 : ◆hNSBMrrUeA :2008/10/31(金) 00:38:26.63 ID:ciaCpCcqO
   数列 {a_n} があり、各 n に対して
   a_n < 42 ならば a_{n+1} = a_n + 8
   a_n ≧ 42 ならば a_{n+1} = a_n - 42
   であるとし、a_1 は 0≦a_1<50 を満たす整数とする。
   このとき、a_1 = a_{1+N} であるような自然数 N が存在することを示し、
   そのような N の最小値を求めよ。 

解答

+...

それぞれのa_nの漸化式の条件から0≦a_n≦49である。 仮にa_1=0の時はa_7=48,a_8=6,…a_13=46,a_14=4,…a_19=44,a_20=2…a_25=42,a_26=0となる。 a_n≧42の時の操作の回数を□回とあらわす。 a_1=8k+aとすると、一回目ではa-2(a+6)、二回目ではa-4(a+4),三回目ではa-6(a+2),4回目ではa-8かaとなる ここでa-8(a)にa_n≦41の時の操作を(k+1)回(k回)行うとa_1に等しいa_(N+1)が存在する。

Nは少なくとも4回の操作が必要で 0≦a_k≦8とするとa_k=0,1の時それぞれの間での回数は6回ある。それ以外では5回ある。 この操作の回数はの内6回は一回で5回は三回だから21回は最低おこる。 また余った部分の最低は5回だから26回が最小なのでN=25?

解説

曖昧な感じですみません。

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