12240007

NO.7-1　複素数と数列 ～難易度☆☆★★★

問題

1 ：愛のVIP戦士＠ローカルルール７日・９日投票：2008/12/07(日) 23:40:08.01 ID:uqckD/kY0
   次の漸化式で表される数列をAnと定義する
   A1 = 1
   An+1 = An×( 1 + i√3 )/2 + 1
   ただしnは自然数、iは虚数単位である
   1) A2、A3を求めよ
   2)上の漸化式を
   An+1 - α = (An - α)×( 1 + i√3 )/2
   と表したとき、複素数αを求めよ
   3)一般項Anを求めよ
   4)An = -( 1 - i√3 )/2 となるような自然数nを自然数kを用いて表せ

解答

...

(1)A_2=(3+i√3)/2　A_3=1+i√3

(2)α=(1+i√3)/2

(3)(1+i√3)/2×(1+( (1 + i√3 )/2)^(n-3))

(4)n=6k-1

解説

(1)

A_2=(3+i√3)/2　A_3=1+i√3は代入してけば容易

(2)

An+1 -α= (An-α)×( 1 + i√3 )/2

α(1-i√3)=2　　ここで、α=a+biとおく。

(a+bi)(1-i√3)=2

a+b√3=2,-a√3+b=0

→a=1/2,b=√3/2より

α=(1+i√3)/2

(3)

複素数が混ざっても普通の数列と同じように考えます。

A_1-α=1-i√3/2より

A_n=(1-i√3)/2×(( 1 + i√3 )/2)^(n-1)+(1+i√3)/2

=((1 + i√3 )/2)^(n-2)+(1+i√3)/2

=(1+i√3)/2×(1+( (1 + i√3 )/2)^(n-3))

(4)

(1+i√3)(1+( (1 + i√3 )/2)^(n-3)) =-(1-i√3)

((1 + i√3 )/2)^(n-3)=-(1-i√3)/(1+i√3)=-(1-i√3)^2/4=(-1+i√3)/2か…

これなら

n-3=2→(-1+i√3)/2

n-3=6→1

だからn=6k-1