12160003

NO.3-1 図形と極限と漸化式 ~難易度☆☆★★★

問題

787 :以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2008/12/14(日) 02:43:02.92 ID:eJSG+c0j0
   さっき作った数学の問題晒しときます
   xy座標上に点C_1(0,0)と点A(1,0)と点B_1(0,s)をとる。(s>1)
   また、点B_n(0,s^n)として、点C_nから直線AB_nに下ろした垂線の足の点を点C_(n+1)と定め、C_n=(X_n,Y_n)とした時、lim(n→∞)Y_nを求めよ。 

解答

+ ...

0

解説

Y_n=-s^n(X_n-1)は任意のnで満たします。

また、(X_n,Y_n)からAB_(n+1)に垂線を下ろした時の交点(X_(n+1),Y_(n+1))は

Y_(n+1)=1/s^(n+1)(X_(n+1)-X_n)+Y_n

X_n=-Y_n/s^n+1を代入して

Y_(n+1)=1/s^(n+1)(-Y_(n+1)/s^(n+1)+Y_n/s^n)+Y_n

Y_(n+1)(s^(n+1)+1/s^(n+1))=Y_n(s^(n+1)+1/s^n)

Y_(n+1)×(s^2(n+1)+1)/s^(n+1)=Y_n×s(s^(2n+1)+1)/s^(n+1)

Y_(n+1)=Y_n×s(s^(2n+1)+1)/(s^(2n+2)+1)

Y_2を求める。

Y_1=(0,0)を通る傾き1/sの直線はy=x/sで

y=x/sとy=-s(x-1)の交点は

x=sy, x=-y/s+1で

(s+1/s)y=1より Y_2=s/(s^2+1)

よって Y_n=Π(k=2,n)s(s^(2k+1)+1)/s^(2k+2) ×s/(s^2+1)

ここで、分母と分子の次数を比較すると

分子→n+Σ[k=2,n](2k+1)=n+Σ[k=1,(n-1)]2k-1=n+n(n-1)-(n-1)=n^2-n+1

分母→2+Σ[k=2,n](2k+2)=2+Σ[k=1,(n-1)]2k=n(n-1)+2=n^2-n+2

よって分母の次数の方が分子の次数より大きくなるためlim(n→∞)Y_nは0に収束する。

タグ:

+ タグ編集
  • タグ:

このサイトはreCAPTCHAによって保護されており、Googleの プライバシーポリシー利用規約 が適用されます。

最終更新:2008年12月15日 00:28
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。