0
解説
Y_n=-s^n(X_n-1)は任意のnで満たします。
また、(X_n,Y_n)からAB_(n+1)に垂線を下ろした時の交点(X_(n+1),Y_(n+1))は
Y_(n+1)=1/s^(n+1)(X_(n+1)-X_n)+Y_n
X_n=-Y_n/s^n+1を代入して
Y_(n+1)=1/s^(n+1)(-Y_(n+1)/s^(n+1)+Y_n/s^n)+Y_n
Y_(n+1)(s^(n+1)+1/s^(n+1))=Y_n(s^(n+1)+1/s^n)
Y_(n+1)×(s^2(n+1)+1)/s^(n+1)=Y_n×s(s^(2n+1)+1)/s^(n+1)
Y_(n+1)=Y_n×s(s^(2n+1)+1)/(s^(2n+2)+1)
Y_2を求める。
Y_1=(0,0)を通る傾き1/sの直線はy=x/sで
y=x/sとy=-s(x-1)の交点は
x=sy, x=-y/s+1で
(s+1/s)y=1より Y_2=s/(s^2+1)
よって
Y_n=Π(k=2,n)s(s^(2k+1)+1)/s^(2k+2) ×s/(s^2+1)
ここで、分母と分子の次数を比較すると
分子→n+Σ[k=2,n](2k+1)=n+Σ[k=1,(n-1)]2k-1=n+n(n-1)-(n-1)=n^2-n+1
分母→2+Σ[k=2,n](2k+2)=2+Σ[k=1,(n-1)]2k=n(n-1)+2=n^2-n+2
よって分母の次数の方が分子の次数より大きくなるためlim(n→∞)Y_nは0に収束する。
|